与えられた5つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。関数は以下の通りです。 1. $y = \sin(\cos x)$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。関数は以下の通りです。

1. $y = \sin(\cos x)$

2. $y = \frac{1}{\tan x}$

3. $y = \sin^2 x$

4. $y = (\arcsin x)(\arccos x)$

5. $y = \frac{x}{x^2}$

2. 解き方の手順

1. $y = \sin(\cos x)$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$を利用します。

$u = \cos x$ とすると、$y = \sin u$となります。

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot (-\sin x) = \cos(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cos(\cos x)$

2. $y = \frac{1}{\tan x}$ の導関数

$y = \frac{1}{\tan x} = \cot x$です。$\cot x$ の導関数は $-\csc^2 x$です。

$\frac{dy}{dx} = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

3. $y = \sin^2 x$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$y = (\sin x)^2$

$u = \sin x$ とすると、$y = u^2$となります。

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \cos x = 2\sin x \cos x = \sin 2x$

4. $y = (\arcsin x)(\arccos x)$ の導関数

積の微分法を用います。$(uv)' = u'v + uv'$を利用します。

$u = \arcsin x$, $v = \arccos x$ とすると、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \arccos x + \arcsin x \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{\arccos x - \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$

5. $y = \frac{x}{x^2}$ の導関数

$y = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} = x^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

3. 最終的な答え

1. $\frac{dy}{dx} = -\sin x \cos(\cos x)$

2. $\frac{dy}{dx} = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

3. $\frac{dy}{dx} = \sin 2x$

4. $\frac{dy}{dx} = \frac{\arccos x - \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$

5. $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$