以下の関数の導関数を求めます。 1. $y = \sin(\cos x)$

はい、承知しました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の関数の導関数を求めます。

1. $y = \sin(\cos x)$

2. $y = \frac{1}{\tan x}$

3. $y = \sin^2 x$

4. $y = (\arcsin x)(\arccos x)$

5. $y = \frac{x}{x^2}$

2. 解き方の手順

1. $y = \sin(\cos x)$ の導関数

合成関数の微分法を使います。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$u = \cos x$ とすると、$y = \sin u$

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = (\cos u)(-\sin x) = \cos(\cos x)(-\sin x) = -\sin x \cos(\cos x)$

2. $y = \frac{1}{\tan x}$ の導関数

$y = \frac{1}{\tan x} = \cot x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

3. $y = \sin^2 x$ の導関数

$y = (\sin x)^2$ なので、合成関数の微分法を使います。

$u = \sin x$ とすると、$y = u^2$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cos x = 2\sin x \cos x = \sin 2x$

4. $y = (\arcsin x)(\arccos x)$ の導関数

積の微分法を使います。$\frac{d(uv)}{dx} = u'v + uv'$

$u = \arcsin x$ , $v = \arccos x$

$u' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$v' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \arccos x + \arcsin x \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{\arccos x - \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$

5. $y = \frac{x}{x^2}$ の導関数

$y = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} = x^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

3. 最終的な答え

1. $-\sin x \cos(\cos x)$

2. $-\csc^2 x$

3. $\sin 2x$

4. $\frac{\arccos x - \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$

5. $-\frac{1}{x^2}$