$x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1$

## 問題1：次の不定積分の計算をせよ。

(1) $\int \frac{1}{x^2 - 6x + 10} dx$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos^2 x + 1} dx$

(3) $\int (x^2 + 1) \cos 3x dx$

(4) $\int \frac{1}{(x-2)(x^2 + 1)} dx$

(5) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$

## 解き方の手順

**(1) $\int \frac{1}{x^2 - 6x + 10} dx$**

1. 分母を平方完成する。

$x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1$

2. 置換積分を行う。$u = x - 3$ とすると、$du = dx$。

$\int \frac{1}{(x-3)^2 + 1} dx = \int \frac{1}{u^2 + 1} du$

3. $\int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(u) + C$

4. $u$ を $x - 3$ に戻す。

$\arctan(u) + C = \arctan(x-3) + C$

**(2) $\int \frac{\sin x}{\cos^2 x + 1} dx$**

1. 置換積分を行う。$u = \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$。

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x + 1} dx = - \int \frac{1}{u^2 + 1} du$

2. $- \int \frac{1}{u^2 + 1} du = -\arctan(u) + C$

3. $u$ を $\cos x$ に戻す。

$-\arctan(u) + C = -\arctan(\cos x) + C$

**(3) $\int (x^2 + 1) \cos 3x dx$**

1. 部分積分を2回行う。

まず、$u = x^2 + 1$、$dv = \cos 3x dx$ とする。

$du = 2x dx$、$v = \frac{1}{3} \sin 3x$

$\int (x^2 + 1) \cos 3x dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1) \sin 3x - \int \frac{2}{3}x \sin 3x dx$

2. 次に、$\int \frac{2}{3}x \sin 3x dx$ を部分積分する。

$u = x$、$dv = \sin 3x dx$ とする。

$du = dx$、$v = -\frac{1}{3} \cos 3x$

$\int \frac{2}{3}x \sin 3x dx = \frac{2}{3} [-\frac{1}{3} x \cos 3x - \int (-\frac{1}{3}) \cos 3x dx]$

$= -\frac{2}{9}x \cos 3x + \frac{2}{9} \int \cos 3x dx$

$= -\frac{2}{9}x \cos 3x + \frac{2}{27} \sin 3x + C_1$

3. 元の式に戻して整理する。

$\int (x^2 + 1) \cos 3x dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1) \sin 3x - (-\frac{2}{9}x \cos 3x + \frac{2}{27} \sin 3x) + C$

$= \frac{1}{3}x^2 \sin 3x + \frac{1}{3} \sin 3x + \frac{2}{9}x \cos 3x - \frac{2}{27} \sin 3x + C$

$= \frac{1}{3}x^2 \sin 3x + \frac{2}{9}x \cos 3x + \frac{7}{27} \sin 3x + C$

**(4) $\int \frac{1}{(x-2)(x^2 + 1)} dx$**

1. 部分分数分解を行う。

$\frac{1}{(x-2)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$

$1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x-2)$

$1 = Ax^2 + A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C$

$1 = (A + B)x^2 + (-2B + C)x + (A - 2C)$

係数比較により、

$A + B = 0$

$-2B + C = 0$

$A - 2C = 1$

これを解くと、$A = \frac{1}{5}$、$B = -\frac{1}{5}$、$C = -\frac{2}{5}$。

よって、$\frac{1}{(x-2)(x^2 + 1)} = \frac{1}{5} \frac{1}{x-2} + \frac{1}{5} \frac{-x - 2}{x^2 + 1}$

2. 積分する。

$\int \frac{1}{(x-2)(x^2 + 1)} dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x-2} dx - \frac{1}{5} \int \frac{x}{x^2 + 1} dx - \frac{2}{5} \int \frac{1}{x^2 + 1} dx$

$= \frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{10} \ln(x^2 + 1) - \frac{2}{5} \arctan x + C$

**(5) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$**

1. 半角の公式を用いる。

$\sin x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}$

$\cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}$

2. 式に代入して整理する。

$\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 + \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}}{1 + \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}} = \frac{1 + \tan^2 \frac{x}{2} + 2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2} + 1 - \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 + \tan^2 \frac{x}{2} + 2 \tan \frac{x}{2}}{2} = \frac{(1 + \tan \frac{x}{2})^2}{2}$

別のやり方として、$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$と$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$を使う。

$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx = \int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx + \int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx + \int \tan \frac{x}{2} dx$

3. 積分する。

$\int \sec^2 \frac{x}{2} dx = 2 \tan \frac{x}{2} + C_1$

$\int \tan \frac{x}{2}dx = \int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx = -2 \ln|\cos \frac{x}{2}| + C_2$

$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = \frac{1}{2} \cdot 2 \tan \frac{x}{2} - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C = \tan \frac{x}{2} - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C$

## 最終的な答え

(1) $\arctan(x-3) + C$

(2) $-\arctan(\cos x) + C$

(3) $\frac{1}{3}x^2 \sin 3x + \frac{2}{9}x \cos 3x + \frac{7}{27} \sin 3x + C$

(4) $\frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{10} \ln(x^2 + 1) - \frac{2}{5} \arctan x + C$

(5) $\tan \frac{x}{2} - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C$