与えられたパラメータ表示された関数について、$\frac{dy}{dx}$を求める問題です。パラメータ表示された関数は以下の4つです。 (1) $x = a \cosh t$, $y = b \sinh t$ (2) $x = a \cos^3 t$, $y = b \sin^3 t$ (3) $x = a(\theta - \sin \theta)$, $y = a(1 - \cos \theta)$ ($a > 0, 0 \le \theta \le 2\pi$) (4) $x = \frac{3at}{1 + t^3}$, $y = \frac{3at^2}{1 + t^3}$

1. 問題の内容

与えられたパラメータ表示された関数について、$\frac{dy}{dx}$を求める問題です。パラメータ表示された関数は以下の4つです。

(1) $x = a \cosh t$, $y = b \sinh t$

(2) $x = a \cos^3 t$, $y = b \sin^3 t$

(3) $x = a(\theta - \sin \theta)$, $y = a(1 - \cos \theta)$ ($a > 0, 0 \le \theta \le 2\pi$)

(4) $x = \frac{3at}{1 + t^3}$, $y = \frac{3at^2}{1 + t^3}$

2. 解き方の手順

パラメータ表示された関数の導関数は、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ または $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ で計算できます。

(1) $x = a \cosh t$, $y = b \sinh t$

$\frac{dx}{dt} = a \sinh t$

$\frac{dy}{dt} = b \cosh t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{b \cosh t}{a \sinh t} = \frac{b}{a} \coth t$

(2) $x = a \cos^3 t$, $y = b \sin^3 t$

$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3b \sin^2 t \cos t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3b \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\frac{b}{a} \tan t$

(3) $x = a(\theta - \sin \theta)$, $y = a(1 - \cos \theta)$

$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$

$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin \theta}{a(1 - \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2 \sin^2(\theta/2)} = \cot(\theta/2)$

(4) $x = \frac{3at}{1 + t^3}$, $y = \frac{3at^2}{1 + t^3}$

$\frac{dx}{dt} = \frac{3a(1+t^3) - 3at(3t^2)}{(1+t^3)^2} = \frac{3a(1 + t^3 - 3t^3)}{(1+t^3)^2} = \frac{3a(1 - 2t^3)}{(1+t^3)^2}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{6at(1+t^3) - 3at^2(3t^2)}{(1+t^3)^2} = \frac{3at(2 + 2t^3 - 3t^3)}{(1+t^3)^2} = \frac{3at(2 - t^3)}{(1+t^3)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3at(2 - t^3)}{3a(1 - 2t^3)} = \frac{t(2 - t^3)}{1 - 2t^3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \coth t$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} \tan t$

(3) $\frac{dy}{dx} = \cot(\theta/2)$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{t(2 - t^3)}{1 - 2t^3}$