濃度5%の食塩水 $x$ gに、まず100gの水を加える。その結果、濃度が4%以下になる。さらに100gの水を加えると、濃度が3%以上になる。このとき、$x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

濃度5%の食塩水 $x$ gに、まず100gの水を加える。その結果、濃度が4%以下になる。さらに100gの水を加えると、濃度が3%以上になる。このとき、$x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、食塩水 $x$ gに含まれる食塩の量を計算します。濃度が5%なので、食塩の量は $0.05x$ gです。

次に、100gの水を加えたときの食塩水の濃度を考えます。食塩水の総量は $x + 100$ gとなり、食塩の量は $0.05x$ gのままなので、濃度は $\frac{0.05x}{x + 100}$となります。この濃度が4%以下であるという条件から、不等式を立てます。

$\frac{0.05x}{x + 100} \leq 0.04$

さらに100gの水を加えた場合、食塩水の総量は $x + 100 + 100 = x + 200$ gとなり、食塩の量は $0.05x$ gのままなので、濃度は $\frac{0.05x}{x + 200}$となります。この濃度が3%以上であるという条件から、不等式を立てます。

$\frac{0.05x}{x + 200} \geq 0.03$

これらの不等式を解き、$x$ の範囲を求めます。

不等式1: $\frac{0.05x}{x + 100} \leq 0.04$

両辺に $x+100$ を掛けると $(x > 0$ より $x+100 > 0$ なので不等号の向きは変わらない):

$0.05x \leq 0.04(x + 100)$

$0.05x \leq 0.04x + 4$

$0.01x \leq 4$

$x \leq 400$

不等式2: $\frac{0.05x}{x + 200} \geq 0.03$

両辺に $x+200$ を掛けると $(x > 0$ より $x+200 > 0$ なので不等号の向きは変わらない):

$0.05x \geq 0.03(x + 200)$

$0.05x \geq 0.03x + 6$

$0.02x \geq 6$

$x \geq 300$

したがって、$300 \leq x \leq 400$

3. 最終的な答え

$300 \leq x \leq 400$