関数 $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$ について、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0$ の範囲で、以下の問いに答える。 (1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = t$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) $y$ を $t$ で表せ。 (3) $y$ の最大値、最小値とそれを与える $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$ について、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0$ の範囲で、以下の問いに答える。

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = t$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $y$ を $t$ で表せ。

(3) $y$ の最大値、最小値とそれを与える $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を合成する。

$t = 2 (\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta) = 2 \sin (\theta + \frac{\pi}{3})$

$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0$ より、$-\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{3}$

したがって、$-\frac{1}{2} \le \sin (\theta + \frac{\pi}{3}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$-1 \le t \le \sqrt{3}$

(2) $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$ を $t$ で表す。

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ より、

$t^2 = (\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 3\cos^2 \theta$

$y = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \sqrt{3} (2\sin \theta \cos \theta) - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$

$= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \sqrt{3} (2\sin \theta \cos \theta) - 2(\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta)$

$= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \sqrt{3} (2\sin \theta \cos \theta) - 2t$

$t^2 = \sin^2 \theta + 2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 3\cos^2 \theta$

$2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = t^2 - \sin^2 \theta - 3\cos^2 \theta$

$= t^2 - \sin^2 \theta - \cos^2 \theta - 2\cos^2 \theta = t^2 - 1 - 2\cos^2 \theta$

$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1$

$y = 2\cos^2 \theta - 1 + t^2 - 1 - 2\cos^2 \theta - 2t = t^2 - 2t - 2$

$y = t^2 - 2t - 2 = (t-1)^2 - 3$

(3) $y = (t-1)^2 - 3$ の最大値、最小値とそれを与える $\theta$ の値を求める。

$-1 \le t \le \sqrt{3}$ より、

$t = 1$ のとき、最小値 $y = -3$

$\sin (\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ より、$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$

$\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$

$t = -1$ のとき、最大値 $y = (-1-1)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$\sin (\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ より、$\theta + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$

$\theta = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \le t \le \sqrt{3}$

(2) $y = t^2 - 2t - 2$

(3) 最大値: $1$ ($\theta = -\frac{\pi}{2}$), 最小値: $-3$ ($\theta = -\frac{\pi}{6}$)