次の不定積分を求めます。 (i) $\int (\sin 2x - \cos 2x) dx$ (ii) $\int (\frac{1}{\sqrt{x}} - 2\sqrt{x}) dx$ (iii) $\int (e^{2x} + e^{-2x}) dx$ (iv) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}} dx$ (v) $\int \frac{x^2+1}{x^2+2} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(i) $\int (\sin 2x - \cos 2x) dx$

(ii) $\int (\frac{1}{\sqrt{x}} - 2\sqrt{x}) dx$

(iii) $\int (e^{2x} + e^{-2x}) dx$

(iv) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}} dx$

(v) $\int \frac{x^2+1}{x^2+2} dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int (\sin 2x - \cos 2x) dx$

$\sin 2x$ の不定積分は $-\frac{1}{2}\cos 2x$ であり、$\cos 2x$ の不定積分は $\frac{1}{2}\sin 2x$ であるから、

$\int (\sin 2x - \cos 2x) dx = -\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x + C$

(ii) $\int (\frac{1}{\sqrt{x}} - 2\sqrt{x}) dx = \int (x^{-1/2} - 2x^{1/2}) dx$

$x^{-1/2}$ の不定積分は $2x^{1/2}$ であり、$x^{1/2}$ の不定積分は $\frac{2}{3}x^{3/2}$ であるから、

$\int (\frac{1}{\sqrt{x}} - 2\sqrt{x}) dx = 2x^{1/2} - \frac{4}{3}x^{3/2} + C = 2\sqrt{x} - \frac{4}{3}x\sqrt{x} + C$

(iii) $\int (e^{2x} + e^{-2x}) dx$

$e^{2x}$ の不定積分は $\frac{1}{2}e^{2x}$ であり、$e^{-2x}$ の不定積分は $-\frac{1}{2}e^{-2x}$ であるから、

$\int (e^{2x} + e^{-2x}) dx = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$

(iv) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{2(1-\frac{3}{2}x^2)}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{2}x^2}} dx$

$u = \sqrt{\frac{3}{2}}x$ とおくと、$x = \sqrt{\frac{2}{3}}u$ であり、$dx = \sqrt{\frac{2}{3}}du$ となる。

$\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \sqrt{\frac{2}{3}}du = \frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin u + C = \frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin (\sqrt{\frac{3}{2}}x) + C$

(v) $\int \frac{x^2+1}{x^2+2} dx = \int \frac{(x^2+2)-1}{x^2+2} dx = \int (1 - \frac{1}{x^2+2}) dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x^2+2} dx = x - \int \frac{1}{x^2+2} dx$

$\int \frac{1}{x^2+2} dx = \int \frac{1}{2(\frac{x^2}{2}+1)} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(\frac{x}{\sqrt{2}})^2+1} dx$

$u = \frac{x}{\sqrt{2}}$ とおくと、$x = \sqrt{2}u$ であり、$dx = \sqrt{2}du$ となる。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2+1} \sqrt{2} du = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{u^2+1} du = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan u + C = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$

よって、$\int \frac{x^2+1}{x^2+2} dx = x - \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$

3. 最終的な答え

(i) $-\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x + C$

(ii) $2\sqrt{x} - \frac{4}{3}x\sqrt{x} + C$

(iii) $\frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$

(iv) $\frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin (\sqrt{\frac{3}{2}}x) + C$

(v) $x - \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$