円環、円盤、球殻、球(中身が一様に詰まっている)を同じ斜面に転がしたときの速さの順序は、詰まった球、円盤、球殻、円環となる。次に、これらの物体を同じ高さから自由落下させたときの速さを比較し、その理由を説明する。摩擦は無視する。

応用数学力学エネルギー保存自由落下慣性モーメント物理
2025/7/19

1. 問題の内容

円環、円盤、球殻、球(中身が一様に詰まっている)を同じ斜面に転がしたときの速さの順序は、詰まった球、円盤、球殻、円環となる。次に、これらの物体を同じ高さから自由落下させたときの速さを比較し、その理由を説明する。摩擦は無視する。

2. 解き方の手順

自由落下の場合、物体の形状や慣性モーメントは速度に影響しない。これは、重力による位置エネルギーがすべて並進運動の運動エネルギーに変換されるためである。物体の質量を mm 、重力加速度を gg 、落下する高さを hh とすると、位置エネルギーは mghmgh である。自由落下後の速度を vv とすると、運動エネルギーは 12mv2\frac{1}{2}mv^2 となる。
エネルギー保存則より、
mgh=12mv2mgh = \frac{1}{2}mv^2
この式を vv について解くと、
v=2ghv = \sqrt{2gh}
速度は物体の質量 mm に依存しないことがわかる。また、物体の形状(円環、円盤、球殻、球)にも依存しない。したがって、すべての物体は同じ速度で落下する。

3. 最終的な答え

自由落下させた場合、円環、円盤、球殻、球は全て同じ速さで落下する。これは、位置エネルギーが全て並進運動の運動エネルギーに変換され、その速度は物体の質量や形状に依存しないためである。

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