与えられた2次関数について、最大値と最小値を求める問題です。関数は4つあり、(3)と(4)は定義域が指定されています。

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、最大値と最小値を求める問題です。関数は4つあり、(3)と(4)は定義域が指定されています。

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2 + 2$

この関数は下に凸な放物線で、頂点は $(0, 2)$ です。定義域が指定されていないので、最小値は $x = 0$ のときの $y = 2$ です。最大値は存在しません（正の無限大に発散します）。

(2) $y = -(x - 1)^2 + 5$

この関数は上に凸な放物線で、頂点は $(1, 5)$ です。定義域が指定されていないので、最大値は $x = 1$ のときの $y = 5$ です。最小値は存在しません（負の無限大に発散します）。

(3) $y = x^2 - 2x - 3$ ($-2 \le x \le 5$)

この関数は下に凸な放物線です。まず、平方完成して頂点を求めます。

$y = (x - 1)^2 - 4$

頂点は $(1, -4)$ です。定義域 $-2 \le x \le 5$ 内に頂点があるので、最小値は $x = 1$ のときの $y = -4$ です。

最大値は、定義域の端点である $x = -2$ と $x = 5$ での $y$ の値を比較して求めます。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$

$x = 5$ のとき、$y = (5)^2 - 2(5) - 3 = 25 - 10 - 3 = 12$

したがって、最大値は $x = 5$ のときの $y = 12$ です。

(4) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-1 \le x \le 1$)

この関数は上に凸な放物線です。まず、平方完成して頂点を求めます。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2(x + 1)^2 + 2 + 1 = -2(x + 1)^2 + 3$

頂点は $(-1, 3)$ です。定義域 $-1 \le x \le 1$ 内に頂点があるので、最大値は $x = -1$ のときの $y = 3$ です。

最小値は、定義域の端点である $x = 1$ での $y$ の値を求めます。

$x = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 - 4(1) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5$

したがって、最小値は $x = 1$ のときの $y = -5$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $2$、最大値: なし

(2) 最大値: $5$、最小値: なし

(3) 最小値: $-4$、最大値: $12$

(4) 最大値: $3$、最小値: $-5$