地上から秒速40mで真上にボールを投げ上げたときの、$t$秒後のボールの地上からの高さ$y$mが、$y = -5t^2 + 40t$ で表される。 (1) ボールの高さ$y$が最も大きくなるのは何秒後か。また、そのときの高さは何mか。 (2) ボールの高さ$y$が60m以上75m以下になる$t$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

地上から秒速40mで真上にボールを投げ上げたときの、$t$秒後のボールの地上からの高さ$y$mが、$y = -5t^2 + 40t$ で表される。

(1) ボールの高さ$y$が最も大きくなるのは何秒後か。また、そのときの高さは何mか。

(2) ボールの高さ$y$が60m以上75m以下になる$t$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = -5t^2 + 40t$ を平方完成する。

$y = -5(t^2 - 8t)$

$y = -5(t^2 - 8t + 16 - 16)$

$y = -5((t-4)^2 - 16)$

$y = -5(t-4)^2 + 80$

よって、$t = 4$ のとき、$y$ は最大値 80 をとる。

(2) $60 \le y \le 75$となる$t$の範囲を求める。

まず、$60 \le -5t^2 + 40t$ を解く。

$5t^2 - 40t + 60 \le 0$

$t^2 - 8t + 12 \le 0$

$(t-2)(t-6) \le 0$

$2 \le t \le 6$

次に、$-5t^2 + 40t \le 75$ を解く。

$5t^2 - 40t + 75 \ge 0$

$t^2 - 8t + 15 \ge 0$

$(t-3)(t-5) \ge 0$

$t \le 3$ または $t \ge 5$

したがって、$2 \le t \le 3$ または $5 \le t \le 6$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 4秒後、80m

(2) $2 \le t \le 3$ または $5 \le t \le 6$