与えられた数学の問題を解く。問題は、四則演算、式の展開・因数分解、一次方程式、連立方程式、平方根、比例、一次関数に関するものである。特に、7番は文章問題であり、大人と子供の入場者数を求める問題である。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解く。問題は、四則演算、式の展開・因数分解、一次方程式、連立方程式、平方根、比例、一次関数に関するものである。特に、7番は文章問題であり、大人と子供の入場者数を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1) $(-2)^2 - 4 - (-3) = 4 - 4 + 3 = 3$

(2) $(x+4)(x-6) = x^2 - 6x + 4x - 24 = x^2 - 2x - 24$

(3) $x^2 + 4x - 12 = (x+6)(x-2)$

(4) $(x+2)^2 - 5(x+2) + 6$ において、$A = x+2$ とおくと、$A^2 - 5A + 6 = (A-2)(A-3)$.

したがって、$(x+2-2)(x+2-3) = x(x-1)$

(5) $4(x+8) = 7x+2$ を解く。

$4x + 32 = 7x + 2$

$3x = 30$

$x = 10$

(6)

$\begin{cases} 3x + y = 7 \\ x - 2y = 7 \end{cases}$

第一式を2倍して、

$\begin{cases} 6x + 2y = 14 \\ x - 2y = 7 \end{cases}$

二つの式を足し合わせると、$7x = 21$ より $x=3$.

これを$x-2y=7$に代入すると、$3 - 2y = 7$ より $-2y = 4$ となり、$y = -2$.

(7) 大人の入場者数を $x$ 人、子供の入場者数を $y$ 人とする。

$\begin{cases} x = 2y + 60 \\ 400x + 250y = 150000 \end{cases}$

第一式を第二式に代入すると、

$400(2y + 60) + 250y = 150000$

$800y + 24000 + 250y = 150000$

$1050y = 126000$

$y = 120$

$x = 2(120) + 60 = 240 + 60 = 300$

(8) $\sqrt{\frac{75}{n}}$ が整数になるためには、$\frac{75}{n}$ が平方数である必要がある。

$75 = 3 \times 5^2$ なので、$n$ は $3k^2$ の形である必要がある。

$n = 3, 75$

(9) $\sqrt{32} - 2\sqrt{2} + \frac{4}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

(10) $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$

(11) $y$ は $x$ に比例するので、$y = ax$ とおく。

$x = 4$ のとき $y = -6$ なので、$-6 = a(4)$ より $a = -\frac{3}{2}$.

よって、$y = -\frac{3}{2}x$.

(12) $y = ax + b$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 6$ のとき、$y$ の変域が $-12 \le y \le 16$ である。

$a < 0$ であるから、$x$ が小さいほど $y$ は大きい。

$x = -2$ のとき $y = 16$, $x = 6$ のとき $y = -12$

$\begin{cases} -2a + b = 16 \\ 6a + b = -12 \end{cases}$

二つの式を引き算すると、$-8a = 28$ より、$a = -\frac{7}{2}$

$b = 16 + 2a = 16 - 7 = 9$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $x^2 - 2x - 24$

(3) $(x+6)(x-2)$

(4) $x(x-1)$

(5) $x = 10$

(6) $x = 3, y = -2$

(7) 大人300人、子供120人

(8) $n = 3, 75$

(9) $4\sqrt{2}$

(10) 6

(11) $y = -\frac{3}{2}x$

(12) $a = -\frac{7}{2}, b = 9$