与えられた4x4行列の行列式を計算し、因数分解された形で答えを求める。行列は以下の通りです。 $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix} $$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算し、因数分解された形で答えを求める。行列は以下の通りです。

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\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

a & b & c & d \\

a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\

a^3 & b^3 & c^3 & d^3

\end{vmatrix}

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2. 解き方の手順

この行列式は、ヴァンデルモンド行列の一般化された形です。ヴァンデルモンド行列の行列式を計算する際によく用いられる操作を適用します。

まず、第1列を基準にして、第2列から第1列を、第3列から第1列を、第4列から第1列を引きます。

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\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

a & b-a & c-a & d-a \\

a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 & d^2-a^2 \\

a^3 & b^3-a^3 & c^3-a^3 & d^3-a^3

\end{vmatrix}

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次に、第1行に関して余因子展開を行うと、次の3x3行列の行列式が得られます。

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\begin{vmatrix}

b-a & c-a & d-a \\

b^2-a^2 & c^2-a^2 & d^2-a^2 \\

b^3-a^3 & c^3-a^3 & d^3-a^3

\end{vmatrix}

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各列から共通因数をくくり出します。

第1列からは$(b-a)$、第2列からは$(c-a)$、第3列からは$(d-a)$をくくり出すことができます。

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(b-a)(c-a)(d-a) \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

b+a & c+a & d+a \\

b^2+ba+a^2 & c^2+ca+a^2 & d^2+da+a^2

\end{vmatrix}

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次に、第1列を基準にして、第2列から第1列を、第3列から第1列を引きます。

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(b-a)(c-a)(d-a) \begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 \\

b+a & c-b & d-b \\

b^2+ba+a^2 & c^2+ca-b^2-ba & d^2+da-b^2-ba

\end{vmatrix}

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さらに第1行に関して余因子展開を行うと、次の2x2行列の行列式が得られます。

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(b-a)(c-a)(d-a) \begin{vmatrix}

c-b & d-b \\

c^2+ca-b^2-ba & d^2+da-b^2-ba

\end{vmatrix}

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2x2行列の各列から共通因数をくくり出します。

第1列からは$(c-b)$、第2列からは$(d-b)$をくくり出すことができます。

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(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) \begin{vmatrix}

1 & 1 \\

c+b+a & d+b+a

\end{vmatrix}

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この2x2行列の行列式を計算します。

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(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d+b+a - c-b-a) = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

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因子の順序を整理すると、次のようになります。

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(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

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3. 最終的な答え

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(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

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