質量 $m = 0.1$ kg のボールが $v_1 = 40$ m/s で飛んできて、バットで打ったところ、方向を $120^\circ$ 変えて $v_2 = 20$ m/s の速さで飛び去った。バットがボールに力を与えていた時間 $\Delta t = 1/2000$ s として、平均の力の大きさ $F$ を求める。

## 問題3

1. 問題の内容

質量 $m = 0.1$ kg のボールが $v_1 = 40$ m/s で飛んできて、バットで打ったところ、方向を $120^\circ$ 変えて $v_2 = 20$ m/s の速さで飛び去った。バットがボールに力を与えていた時間 $\Delta t = 1/2000$ s として、平均の力の大きさ $F$ を求める。

2. 解き方の手順

ボールの運動量変化を計算し、力積と運動量変化の関係から平均の力を求める。

* 運動量変化を計算する。

$x$軸をボールの入射方向にとり、$y$軸をそれに垂直な方向にとると、入射方向の運動量は $p_{1x} = m v_1$、跳ね返り方向の運動量は $p_{2x} = m v_2 \cos(120^\circ) = - \frac{1}{2} m v_2$である。$y$方向の運動量は $p_{1y} = 0$、$p_{2y} = m v_2 \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} m v_2$である。

運動量変化 $\Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$ の各成分は、

$\Delta p_x = p_{2x} - p_{1x} = -\frac{1}{2} m v_2 - m v_1 = m (-\frac{1}{2} v_2 - v_1)$

$\Delta p_y = p_{2y} - p_{1y} = \frac{\sqrt{3}}{2} m v_2$

運動量変化の大きさは、

$|\Delta \vec{p}| = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2} = \sqrt{m^2 (-\frac{1}{2} v_2 - v_1)^2 + m^2 (\frac{\sqrt{3}}{2} v_2)^2} = m \sqrt{(\frac{1}{4}v_2^2 + v_1 v_2 + v_1^2) + \frac{3}{4} v_2^2} = m \sqrt{v_2^2 + v_1 v_2 + v_1^2}$

$v_1 = 40$ m/s、$v_2 = 20$ m/sを代入して、

$|\Delta \vec{p}| = 0.1 \sqrt{20^2 + 40 \cdot 20 + 40^2} = 0.1 \sqrt{400 + 800 + 1600} = 0.1 \sqrt{2800} = 0.1 \cdot 20 \sqrt{7} = 2 \sqrt{7}$ kg m/s

* 力積と運動量変化の関係を使う。

平均の力 $F$ は、力積が運動量変化に等しいことから $F \Delta t = |\Delta \vec{p}|$ より、

$F = \frac{|\Delta \vec{p}|}{\Delta t}$

$\Delta t = 1/2000$ sを代入して、

$F = \frac{2 \sqrt{7}}{1/2000} = 4000 \sqrt{7} \approx 10583$ N

3. 最終的な答え

$4000 \sqrt{7}$ N (約10583 N)

## 問題4

1. 問題の内容

バネ定数 $k$ の軽いバネに質量 $m$ の小球がぶら下がって静止している。この小球を $A$ だけ下に引いてから、静かに離した。離したときを $t = 0$、バネが自然長にあるときの小球の座標を $z = 0$ として、$z$ (鉛直下向きを正) を時間 $t$ の関数として表す。

2. 解き方の手順

* **静止位置を求める。**

バネが自然長から $x_0$ だけ伸びて静止しているとする。このとき、重力とバネの力が釣り合っているので、

$mg = kx_0$

$x_0 = \frac{mg}{k}$

* **運動方程式を立てる。**

小球の位置を $z$ とすると、バネの伸びは $z - x_0$ である。運動方程式は、

$m \frac{d^2 z}{dt^2} = mg - k (z - x_0)$

$mg = k x_0$ を代入すると、

$m \frac{d^2 z}{dt^2} = k x_0 - k (z - x_0) = - k (z - 2 x_0)$

$z' = z - 2 x_0$ とおくと、$\frac{d^2 z'}{dt^2} = \frac{d^2 z}{dt^2}$ より、

$m \frac{d^2 z'}{dt^2} = - k z'$

$\frac{d^2 z'}{dt^2} = - \frac{k}{m} z'$

これは単振動の運動方程式である。$\omega^2 = \frac{k}{m}$ とおくと、

$\frac{d^2 z'}{dt^2} = - \omega^2 z'$

一般解は $z'(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)$

* **初期条件を適用する。**

$t = 0$ で、$z = x_0 + A$ より、$z'(0) = z(0) - 2 x_0 = x_0 + A - 2 x_0 = A - x_0$

$t = 0$ で、$\frac{dz}{dt} = 0$ より、$\frac{dz'}{dt} = \frac{dz}{dt} = 0$

$z'(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = A - x_0$

$\frac{dz'}{dt} = - C_1 \omega \sin(\omega t) + C_2 \omega \cos(\omega t)$

$\frac{dz'}{dt}(0) = - C_1 \omega \sin(0) + C_2 \omega \cos(0) = C_2 \omega = 0$

$C_2 = 0$

よって、$z'(t) = (A - x_0) \cos(\omega t)$

$z(t) = z'(t) + 2 x_0 = (A - x_0) \cos(\omega t) + 2 x_0 = A \cos(\omega t) + x_0 (2 - \cos(\omega t))$

$x_0 = \frac{mg}{k}$ を代入して、

$z(t) = A \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t) + \frac{mg}{k} (2 - \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t))$

3. 最終的な答え

$z(t) = A \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t) + \frac{mg}{k} (2 - \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t))$