## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

問題は、以下の2つの大問から構成されています。

* **大問2**: 複数の計算問題から構成されています。平方根の計算、式の展開など、基礎的な計算能力を問う内容です。

* **大問3**: 比例の式を求める問題と、一次関数の傾きと切片を求める問題です。

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2. 解き方の手順

**大問2**

(1) 13の平方根をすべて答える。

平方根は正と負の2つ存在します。

(2) $2\sqrt{6} - 5\sqrt{6}$ を計算する。

$\sqrt{6}$ を共通因数として計算します。

(3) $3\sqrt{3} \times (-\sqrt{15})$ を計算する。

$\sqrt{15} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{3}\sqrt{5}$であることを利用して計算します。

$3\sqrt{3} \times (-\sqrt{15}) = 3\sqrt{3} \times (-\sqrt{3} \times \sqrt{5}) = -3 \times 3 \times \sqrt{5} = -9\sqrt{5}$

(4) $-6\sqrt{5} + \sqrt{30}$ を計算する。

これ以上簡単にできません。

(5) $(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2) + \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{7}}$ を計算する。

$(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)$ は和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用します。また、$\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{14}{7}} = \sqrt{2}$です。

$(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2) + \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{7}} = (\sqrt{2})^2 - 2^2 + \sqrt{2} = 2 - 4 + \sqrt{2} = -2 + \sqrt{2}$

(6) $\sqrt{\frac{45}{n}}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ の値をすべて求める。

$\sqrt{\frac{45}{n}}$ が自然数となるためには、$\frac{45}{n}$ が平方数(整数の二乗)である必要があります。

$45 = 3^2 \times 5$ であるので、$\frac{45}{n}$ が平方数になるためには $n$ が 5, $3^2 \times 5$ であれば良い。すなわち、$n = 5, 45$。

$n=5$ のとき、$\sqrt{\frac{45}{n}} = \sqrt{9} = 3$。

$n=45$ のとき、$\sqrt{\frac{45}{n}} = \sqrt{1} = 1$。

**大問3**

(1) $y$ は $x$ に比例し、$x=4$ のとき $y=6$ である。$y$ を $x$ の式で表す。

$y$ は $x$ に比例するので、$y = ax$ と表せます。$x=4$ のとき $y=6$ なので、$6 = 4a$。よって、$a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$。したがって、$y = \frac{3}{2}x$。

(2) 一次関数 $y = ax + b$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 5$ のとき、$y$ の変域は $-12 \le y \le 16$ である。$a < 0$ であるとき、$a$, $b$ の値をそれぞれ求める。

$a < 0$ なので、$x$ が増加すると $y$ は減少します。したがって、$x = -2$ のとき $y = 16$ であり、$x = 5$ のとき $y = -12$ です。

これを式にすると、

$16 = -2a + b$

$-12 = 5a + b$

この連立方程式を解きます。上の式から下の式を引くと、

$28 = -7a$

$a = -4$

これを $16 = -2a + b$ に代入すると、

$16 = -2(-4) + b$

$16 = 8 + b$

$b = 8$

したがって、$a = -4$, $b = 8$。

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3. 最終的な答え

**大問2**

(1) $\pm \sqrt{13}$

(2) $-3\sqrt{6}$

(3) $-9\sqrt{5}$

(4) $-6\sqrt{5} + \sqrt{30}$

(5) $-2 + \sqrt{2}$

(6) $n = 5, 45$

**大問3**

(1) $y = \frac{3}{2}x$

(2) $a = -4$, $b = 8$