(1) 絶対値を含む不等式 $|x-2|<3x+6$ を解く。 (2) $ax + 3 \geq 2x$ を解く。ただし、$a$は定数。

1. 問題の内容

(1) 絶対値を含む不等式 $|x-2|<3x+6$ を解く。

(2) $ax + 3 \geq 2x$ を解く。ただし、$a$は定数。

2. 解き方の手順

(1) $|x-2|<3x+6$

絶対値記号を外すために、場合分けを行う。

(i) $x-2 \geq 0$ つまり $x \geq 2$ のとき、 $|x-2|=x-2$であるから、

$x-2 < 3x+6$

$-2x < 8$

$x > -4$

$x \geq 2$ と $x > -4$ の共通範囲は $x \geq 2$

(ii) $x-2 < 0$ つまり $x < 2$ のとき、 $|x-2|=-(x-2)=-x+2$であるから、

$-x+2 < 3x+6$

$-4x < 4$

$x > -1$

$x < 2$ と $x > -1$ の共通範囲は $-1 < x < 2$

(i), (ii) より、$x \geq 2$ または $-1 < x < 2$ であるから、 $-1 < x$

(2) $ax + 3 \geq 2x$

$(a-2)x \geq -3$

場合分けを行う。

(i) $a-2 > 0$ つまり $a > 2$ のとき、

$x \geq \frac{-3}{a-2}$

(ii) $a-2 < 0$ つまり $a < 2$ のとき、

$x \leq \frac{-3}{a-2}$

(iii) $a-2 = 0$ つまり $a = 2$ のとき、

$0 \cdot x \geq -3$

これは常に成立するので、 $x$はすべての実数。

3. 最終的な答え

(1) $x > -1$

(2)

$a > 2$ のとき、$x \geq \frac{-3}{a-2}$

$a < 2$ のとき、$x \leq \frac{-3}{a-2}$

$a = 2$ のとき、$x$はすべての実数