関数 $y = \frac{a}{x}$ (ただし $a>0$) のグラフ上に3点A, B, Cがあり、点Aの座標は(3, 8)、点Bのx座標は6、点Cのx座標は-6である。2点A, Bを通る直線とy軸との交点をDとする。以下の問いに答えよ。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。 (3) 2点B, Cを結んだ線分上に点Eをとる。三角形DCEの面積が45 cm$^2$となるとき、点Eの座標を求めよ。ただし、座標軸の単位の長さを1 cmとする。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{a}{x}$ (ただし $a>0$) のグラフ上に3点A, B, Cがあり、点Aの座標は(3, 8)、点Bのx座標は6、点Cのx座標は-6である。2点A, Bを通る直線とy軸との交点をDとする。以下の問いに答えよ。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。

(3) 2点B, Cを結んだ線分上に点Eをとる。三角形DCEの面積が45 cm$^2$となるとき、点Eの座標を求めよ。ただし、座標軸の単位の長さを1 cmとする。

2. 解き方の手順

(1) 点A (3, 8) は $y = \frac{a}{x}$ 上の点なので、代入して $8 = \frac{a}{3}$。

よって $a = 3 \times 8 = 24$。

(2) $a=24$ なので、$y = \frac{24}{x}$。

点Aの座標は (3, 8)。

点Bのx座標は6なので、y座標は $y = \frac{24}{6} = 4$。

したがって、点Bの座標は (6, 4)。

2点A (3, 8), B (6, 4) を通る直線の傾きは $\frac{4-8}{6-3} = \frac{-4}{3}$。

求める直線の式を $y = -\frac{4}{3}x + b$ とおき、点A (3, 8) を代入すると $8 = -\frac{4}{3} \times 3 + b$。

$8 = -4 + b$ より $b = 12$。

したがって、求める直線の式は $y = -\frac{4}{3}x + 12$。

(3) 直線ABの式は $y = -\frac{4}{3}x + 12$。この直線とy軸との交点Dの座標は (0, 12)。

点B (6, 4), 点C (-6, -4) を通る直線の式を求める。

傾きは $\frac{-4-4}{-6-6} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3}$。

$y = \frac{2}{3}x + b$ とおき、点B (6, 4) を代入すると $4 = \frac{2}{3} \times 6 + b$。

$4 = 4 + b$ より $b = 0$。

したがって、直線BCの式は $y = \frac{2}{3}x$。

点Eは直線BC上にあるので、点Eの座標を $(t, \frac{2}{3}t)$ とする。

点Cの座標は (-6, -4), 点Dの座標は (0, 12)。

三角形DCEの面積は45 cm$^2$である。

三角形DCEの底辺をCDとすると、CDの長さは $\sqrt{(0 - (-6))^2 + (12 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 16^2} = \sqrt{36 + 256} = \sqrt{292}$。

点Eから直線CDまでの距離をhとすると、$\frac{1}{2} \times \sqrt{292} \times h = 45$。

これは計算が大変なので、別の方法を考える。

点C (-6, -4), 点E $(t, \frac{2}{3}t)$, 点D (0, 12) とすると、三角形DCEの面積は

$\frac{1}{2} | (-6)(\frac{2}{3}t - 12) + t(12 - (-4)) + 0(-4 - \frac{2}{3}t) | = 45$

$| -4t + 72 + 16t | = 90$

$| 12t + 72 | = 90$

$12t + 72 = 90$ または $12t + 72 = -90$

$12t = 18$ または $12t = -162$

$t = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ または $t = -\frac{162}{12} = -\frac{27}{2}$

点Eは直線BC上にあるので、x座標は-6から6の間になければならない。

$t = \frac{3}{2} = 1.5$ のとき、y座標は $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$。よって、点Eの座標は $(\frac{3}{2}, 1)$。

$t = -\frac{27}{2} = -13.5$ のとき、y座標は $\frac{2}{3} \times (-\frac{27}{2}) = -9$。よって、点Eの座標は $(-\frac{27}{2}, -9)$。

点Eは線分BC上にあるので、$t=\frac{3}{2}$ のみ適する。

3. 最終的な答え

(1) $a = 24$

(2) $y = -\frac{4}{3}x + 12$

(3) $(\frac{3}{2}, 1)$