与えられた微分方程式を解きます。 $m\frac{dv_x}{ \gamma v_x - f} = -dt$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解きます。

$m\frac{dv_x}{ \gamma v_x - f} = -dt$

2. 解き方の手順

まず、変数分離を行います。

$\frac{m}{\gamma v_x - f} dv_x = -dt$

次に、両辺を積分します。

$\int \frac{m}{\gamma v_x - f} dv_x = \int -dt$

左辺の積分を実行します。

$\int \frac{m}{\gamma v_x - f} dv_x = \frac{m}{\gamma} \int \frac{\gamma}{\gamma v_x - f} dv_x = \frac{m}{\gamma} \ln | \gamma v_x - f | + C_1$

右辺の積分を実行します。

$\int -dt = -t + C_2$

したがって、次のようになります。

$\frac{m}{\gamma} \ln | \gamma v_x - f | = -t + C$

ここで、$C = C_2 - C_1$です。

両辺に $\frac{\gamma}{m}$ を掛けます。

$\ln | \gamma v_x - f | = -\frac{\gamma}{m} t + \frac{\gamma}{m}C$

指数関数を取ります。

$|\gamma v_x - f| = e^{-\frac{\gamma}{m} t + \frac{\gamma}{m}C} = e^{-\frac{\gamma}{m} t} e^{\frac{\gamma}{m}C}$

$\gamma v_x - f = \pm e^{\frac{\gamma}{m}C} e^{-\frac{\gamma}{m} t}$

$\gamma v_x - f = A e^{-\frac{\gamma}{m} t}$

ここで、$A = \pm e^{\frac{\gamma}{m}C}$ です。

$\gamma v_x = f + A e^{-\frac{\gamma}{m} t}$

$v_x = \frac{f}{\gamma} + \frac{A}{\gamma} e^{-\frac{\gamma}{m} t}$

$v_x = \frac{f}{\gamma} + B e^{-\frac{\gamma}{m} t}$

ここで、$B = \frac{A}{\gamma}$ です。

3. 最終的な答え

$v_x = \frac{f}{\gamma} + B e^{-\frac{\gamma}{m} t}$