与えられたベクトルが線形独立かどうかを判定する問題です。具体的には、以下の3つのケースについて考えます。 (4) $\vec{a} = (2,-1,0)$, $\vec{b} = (1,0,3)$, $\vec{c} = (-2,1,0)$ (5) $\vec{a} = (2,-1,0)$, $\vec{b} = (1,0,3)$, $\vec{c} = (-2,1,1)$ (6) $\vec{a} = (2,-1,0)$, $\vec{b} = (1,0,3)$, $\vec{c} = (-2,1,1)$, $\vec{d} = (1,1,1)$

1. 問題の内容

与えられたベクトルが線形独立かどうかを判定する問題です。具体的には、以下の3つのケースについて考えます。

(4) $\vec{a} = (2,-1,0)$, $\vec{b} = (1,0,3)$, $\vec{c} = (-2,1,0)$

(5) $\vec{a} = (2,-1,0)$, $\vec{b} = (1,0,3)$, $\vec{c} = (-2,1,1)$

(6) $\vec{a} = (2,-1,0)$, $\vec{b} = (1,0,3)$, $\vec{c} = (-2,1,1)$, $\vec{d} = (1,1,1)$

2. 解き方の手順

ベクトルが線形独立であるとは、それらの線形結合がゼロベクトルになるのが、すべての係数がゼロの場合に限られることです。言い換えれば、

$c_1\vec{a} + c_2\vec{b} + c_3\vec{c} + ... = \vec{0}$

が成り立つとき、$c_1 = c_2 = c_3 = ... = 0$ であれば、これらのベクトルは線形独立です。

(4) 3つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が線形独立かどうかを調べます。

$c_1\vec{a} + c_2\vec{b} + c_3\vec{c} = \vec{0}$

$c_1(2,-1,0) + c_2(1,0,3) + c_3(-2,1,0) = (0,0,0)$

この式は以下の連立一次方程式に書き換えられます。

$2c_1 + c_2 - 2c_3 = 0$

$-c_1 + c_3 = 0$

$3c_2 = 0$

3番目の式から $c_2 = 0$。2番目の式から $c_1 = c_3$。これらを1番目の式に代入すると、

$2c_1 + 0 - 2c_1 = 0$

$0 = 0$

となり、これは常に成り立ちます。したがって、$c_1 = c_3$ であり、$c_1$ と $c_3$ は任意の値をとることができます。例えば、$c_1 = c_3 = 1$ ならば、$c_1\vec{a} + c_2\vec{b} + c_3\vec{c} = \vec{0}$ を満たします。よって、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は線形従属です。

(5) 3つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が線形独立かどうかを調べます。

$c_1\vec{a} + c_2\vec{b} + c_3\vec{c} = \vec{0}$

$c_1(2,-1,0) + c_2(1,0,3) + c_3(-2,1,1) = (0,0,0)$

この式は以下の連立一次方程式に書き換えられます。

$2c_1 + c_2 - 2c_3 = 0$

$-c_1 + c_3 = 0$

$3c_2 + c_3 = 0$

2番目の式から $c_1 = c_3$。3番目の式から $c_3 = -3c_2$。したがって、$c_1 = -3c_2$。これらを1番目の式に代入すると、

$2(-3c_2) + c_2 - 2(-3c_2) = 0$

$-6c_2 + c_2 + 6c_2 = 0$

$c_2 = 0$

したがって、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$ となり、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は線形独立です。

(6) 4つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ が線形独立かどうかを調べます。3次元空間において4つのベクトルは必ず線形従属になります。これは、3次元空間の基底は3つのベクトルで構成できるためです。したがって、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ は線形従属です。

3. 最終的な答え

(4) 線形従属

(5) 線形独立

(6) 線形従属