与えられた関数について、凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。 (a) $y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ (b) $y = xe^{-x}$ (c) $y = \sin x$ ($-π/2 < x < π/2$)

1. 問題の内容

与えられた関数について、凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。

(a) $y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

(b) $y = xe^{-x}$

(c) $y = \sin x$ ($-π/2 < x < π/2$)

2. 解き方の手順

変曲点を求めるには、まず2階微分を計算し、それが0になる点を求めます。次に、その点の前後で2階微分の符号が変化するかどうかを調べます。符号が変化する場合、その点は変曲点です。凹凸は、2階微分の符号によって判断します。2階微分が正ならば下に凸、負ならば上に凸です。

(a) $y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

まず、1階微分を求めます。

$y' = -3x^2 + 12x - 9$

次に、2階微分を求めます。

$y'' = -6x + 12$

$y'' = 0$となる$x$を求めます。

$-6x + 12 = 0$

$6x = 12$

$x = 2$

$x = 2$の前後で$y''$の符号を調べます。

$x < 2$のとき、$y'' > 0$（下に凸）

$x > 2$のとき、$y'' < 0$（上に凸）

よって、$x = 2$は変曲点です。

$x = 2$のとき、$y = -(2)^3 + 6(2)^2 - 9(2) + 1 = -8 + 24 - 18 + 1 = -1$

変曲点$(2, -1)$

(b) $y = xe^{-x}$

まず、1階微分を求めます。

$y' = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}$

次に、2階微分を求めます。

$y'' = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = -e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = (x - 2)e^{-x}$

$y'' = 0$となる$x$を求めます。

$(x - 2)e^{-x} = 0$

$e^{-x} > 0$なので、$x - 2 = 0$

$x = 2$

$x = 2$の前後で$y''$の符号を調べます。

$x < 2$のとき、$y'' < 0$（上に凸）

$x > 2$のとき、$y'' > 0$（下に凸）

よって、$x = 2$は変曲点です。

$x = 2$のとき、$y = 2e^{-2}$

変曲点$(2, 2e^{-2})$

(c) $y = \sin x$ ($-π/2 < x < π/2$)

まず、1階微分を求めます。

$y' = \cos x$

次に、2階微分を求めます。

$y'' = -\sin x$

$y'' = 0$となる$x$を求めます。

$-\sin x = 0$

$x = 0$

$x = 0$の前後で$y''$の符号を調べます。

$-π/2 < x < 0$のとき、$y'' > 0$（下に凸）

$0 < x < π/2$のとき、$y'' < 0$（上に凸）

よって、$x = 0$は変曲点です。

$x = 0$のとき、$y = \sin 0 = 0$

変曲点$(0, 0)$

3. 最終的な答え

(a) 変曲点：$(2, -1)$

(b) 変曲点：$(2, 2e^{-2})$

(c) 変曲点：$(0, 0)$