与えられた二つの定積分の値を計算する問題です。一つは $\int_{0}^{3} [x]^2 dx$ であり、もう一つは $\int_{0}^{3} x[x] dx$ です。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。

1. 問題の内容

与えられた二つの定積分の値を計算する問題です。一つは $\int_{0}^{3} [x]^2 dx$ であり、もう一つは $\int_{0}^{3} x[x] dx$ です。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{3} [x]^2 dx$ の計算

区間 $[0,3]$ を $[0,1)$, $[1,2)$, $[2,3]$ のように1刻みで分割します。

- $0 \leq x < 1$ のとき $[x]=0$

- $1 \leq x < 2$ のとき $[x]=1$

- $2 \leq x \leq 3$ のとき $[x]=2$

したがって、積分は以下のように分割できます。

$\int_{0}^{3} [x]^2 dx = \int_{0}^{1} 0^2 dx + \int_{1}^{2} 1^2 dx + \int_{2}^{3} 2^2 dx$

$= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{2} 1 dx + \int_{2}^{3} 4 dx$

$= 0 + [x]_{1}^{2} + [4x]_{2}^{3}$

$= 0 + (2-1) + (4(3)-4(2))$

$= 1 + (12-8)$

$= 1 + 4 = 5$

(2) $\int_{0}^{3} x[x] dx$ の計算

上記と同様に、区間 $[0,3]$ を $[0,1)$, $[1,2)$, $[2,3]$ のように1刻みで分割します。

- $0 \leq x < 1$ のとき $[x]=0$

- $1 \leq x < 2$ のとき $[x]=1$

- $2 \leq x \leq 3$ のとき $[x]=2$

したがって、積分は以下のように分割できます。

$\int_{0}^{3} x[x] dx = \int_{0}^{1} x(0) dx + \int_{1}^{2} x(1) dx + \int_{2}^{3} x(2) dx$

$= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{2} x dx + \int_{2}^{3} 2x dx$

$= 0 + [\frac{1}{2}x^2]_{1}^{2} + [x^2]_{2}^{3}$

$= 0 + (\frac{1}{2}(2^2) - \frac{1}{2}(1^2)) + (3^2 - 2^2)$

$= (2 - \frac{1}{2}) + (9-4)$

$= \frac{3}{2} + 5 = \frac{3}{2} + \frac{10}{2} = \frac{13}{2}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{3} [x]^2 dx = 5$

$\int_{0}^{3} x[x] dx = \frac{13}{2}$