$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ とする。以下の問いに答える。 1. 次の極限を求める。 * (i) $\lim_{x \to 0+} x \log x$ * (ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2$ * (iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n$ 2. 漸化式 $I_{n+1} = -(n+1)I_n$ を示す。 3. $I_0, I_1, I_2$ を求める。 4. $I_n$ を求める。

## 問1.4

1. **問題の内容**

$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ とする。以下の問いに答える。

1. 次の極限を求める。

* (i) $\lim_{x \to 0+} x \log x$

* (ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2$

* (iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n$

2. 漸化式 $I_{n+1} = -(n+1)I_n$ を示す。

3. $I_0, I_1, I_2$ を求める。

4. $I_n$ を求める。

2. **解き方の手順**

1. **極限の計算**

* (i) $\lim_{x \to 0+} x \log x$ について。

$x = e^{-t}$ と置換すると、$x \to 0+$ のとき $t \to \infty$。

したがって、

$\lim_{x \to 0+} x \log x = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t) = -\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t}$。

ロピタルの定理より、$-\lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^t} = 0$。

* (ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2$ について。

同様に $x = e^{-t}$ と置換すると、$x \to 0+$ のとき $t \to \infty$。

$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2 = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^2 = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{e^t}$。

ロピタルの定理を2回適用すると、$\lim_{t \to \infty} \frac{2t}{e^t} = \lim_{t \to \infty} \frac{2}{e^t} = 0$。

* (iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n$ について。

上記と同様に、$x = e^{-t}$ と置換すると、$x \to 0+$ のとき $t \to \infty$。

$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^n = (-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t}$。

ロピタルの定理をn回適用すると、$(-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{n!}{e^t} = 0$。

よって、$n$ によらず、極限は0であると予想できる。

これを数学的帰納法で示すこともできるが、ここでは省略する。

2. **漸化式の証明**

部分積分を用いて $I_{n+1} = \int_0^1 (\log x)^{n+1} dx$ を計算する。

$u = (\log x)^{n+1}$、$dv = dx$ とおくと、$du = (n+1) (\log x)^n \frac{1}{x} dx$、$v = x$。

$I_{n+1} = [x(\log x)^{n+1}]_0^1 - \int_0^1 x (n+1) (\log x)^n \frac{1}{x} dx$

$= [x(\log x)^{n+1}]_0^1 - (n+1) \int_0^1 (\log x)^n dx$

$= [x(\log x)^{n+1}]_0^1 - (n+1) I_n$

ここで、$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^{n+1} = 0$ (1-(iii)の結果) であるから、

$[x(\log x)^{n+1}]_0^1 = 1 \cdot (\log 1)^{n+1} - \lim_{x \to 0+} x (\log x)^{n+1} = 0 - 0 = 0$。

したがって、$I_{n+1} = -(n+1)I_n$

3. **$I_0, I_1, I_2$ の計算**

* $I_0 = \int_0^1 (\log x)^0 dx = \int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1$。

* $I_1 = \int_0^1 \log x dx$。部分積分を行う。$u = \log x, dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx, v = x$。

$I_1 = [x \log x]_0^1 - \int_0^1 x \frac{1}{x} dx = [x \log x]_0^1 - \int_0^1 1 dx = (1 \cdot \log 1 - \lim_{x \to 0+} x \log x) - [x]_0^1 = 0 - 0 - (1 - 0) = -1$。

あるいは、$I_1 = -(0+1)I_0 = -I_0 = -1$ としても良い。

* $I_2 = -(1+1)I_1 = -2I_1 = -2(-1) = 2$。

4. **$I_n$ の計算**

$I_{n+1} = -(n+1)I_n$ より、

$I_n = -n I_{n-1} = (-n) \cdot (-(n-1) I_{n-2}) = (-1)^2 n(n-1) I_{n-2} = \cdots = (-1)^n n! I_0$

$I_0 = 1$ なので、$I_n = (-1)^n n!$。

3. **最終的な答え**

1. (i) $\lim_{x \to 0+} x \log x = 0$

(ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2 = 0$

(iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = 0$

2. $I_{n+1} = -(n+1)I_n$

3. $I_0 = 1$, $I_1 = -1$, $I_2 = 2$

4. $I_n = (-1)^n n!$

## 問1.5

1. **問題の内容**

次の微分を $f$ を用いて表す。

1. $\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t) dt$

2. $\frac{d}{dx} \int_x^{x+1} f(t) dt$

2. **解き方の手順**

1. **$\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t) dt$ について**

合成関数の微分と微積分学の基本定理を用いる。

$F(x) = \int_0^x f(t) dt$ とおくと、$F'(x) = f(x)$。

$\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t) dt = \frac{d}{dx} F(x^2) = F'(x^2) \cdot (x^2)' = f(x^2) \cdot 2x = 2x f(x^2)$。

2. **$\frac{d}{dx} \int_x^{x+1} f(t) dt$ について**

微積分学の基本定理を用いる。

$\int_x^{x+1} f(t) dt = \int_0^{x+1} f(t) dt - \int_0^{x} f(t) dt$。

$\frac{d}{dx} \int_x^{x+1} f(t) dt = \frac{d}{dx} (\int_0^{x+1} f(t) dt - \int_0^{x} f(t) dt) = f(x+1) - f(x)$。

3. **最終的な答え**

1. $\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t) dt = 2x f(x^2)$

2. $\frac{d}{dx} \int_x^{x+1} f(t) dt = f(x+1) - f(x)$

## 問1.6

1. **問題の内容**

次の広義積分が収束するか判定する。

1. $\int_0^1 \log x dx$

2. $\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$

3. $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x^3 + 1}}$

2. **解き方の手順**

1. **$\int_0^1 \log x dx$ について**

積分区間 $[0, 1]$ において、$x = 0$ で被積分関数が発散するため、広義積分である。

$\int_0^1 \log x dx = \lim_{\epsilon \to 0+} \int_\epsilon^1 \log x dx$

部分積分を行う。$u = \log x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$。

$\int_\epsilon^1 \log x dx = [x \log x]_\epsilon^1 - \int_\epsilon^1 x \cdot \frac{1}{x} dx = [x \log x]_\epsilon^1 - [x]_\epsilon^1 = (1 \cdot \log 1 - \epsilon \log \epsilon) - (1 - \epsilon)$

$= -\epsilon \log \epsilon - 1 + \epsilon$

$\lim_{\epsilon \to 0+} \int_\epsilon^1 \log x dx = \lim_{\epsilon \to 0+} (-\epsilon \log \epsilon - 1 + \epsilon) = -1$（$\lim_{\epsilon \to 0+} \epsilon \log \epsilon = 0$ は問1.4の1-(i)と同様にして示す）。

したがって、積分は収束する。

2. **$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$ について**

積分区間 $[0, \pi/2]$ において、$x = 0$ で被積分関数が発散するため、広義積分である。

$x \to 0$ のとき、$\sin x \sim x$ であるから、$\frac{1}{\sqrt{\sin x}} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$。

$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$ の収束・発散は、$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{x}}$ の収束・発散と一致する。

$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{\epsilon \to 0+} \int_\epsilon^{\pi/2} x^{-1/2} dx = \lim_{\epsilon \to 0+} [2x^{1/2}]_\epsilon^{\pi/2} = \lim_{\epsilon \to 0+} (2\sqrt{\frac{\pi}{2}} - 2\sqrt{\epsilon}) = 2\sqrt{\frac{\pi}{2}}$。

したがって、$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$ は収束する。

3. **$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x^3 + 1}}$ について**

$x \to \infty$ で被積分関数が $0$ に収束する速さを考える。

$x \to \infty$ のとき、$x^3 + 1 \sim x^3$ であるから、$\frac{1}{\sqrt[3]{x^3 + 1}} \sim \frac{1}{\sqrt[3]{x^3}} = \frac{1}{x}$。

$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x^3 + 1}}$ の収束・発散は、$\int_1^\infty \frac{dx}{x}$ の収束・発散と一致する。

$\int_1^\infty \frac{dx}{x} = \lim_{R \to \infty} \int_1^R \frac{dx}{x} = \lim_{R \to \infty} [\log x]_1^R = \lim_{R \to \infty} (\log R - \log 1) = \lim_{R \to \infty} \log R = \infty$。

したがって、$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt[3]{x^3 + 1}}$ は発散する。

3. **最終的な答え**

1. 収束する

2. 収束する

3. 発散する