与えられたベクトルの組が一次独立かどうかを判定する問題です。具体的には、(4), (5), (6)のそれぞれについて、ベクトルが一次独立かどうかを判定します。ここでは問題(5)を解きます。ベクトル a = (2, -1, 0), b = (1, 0, 3), c = (-2, 1, 1)が一次独立かどうかを判定します。

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組が一次独立かどうかを判定する問題です。具体的には、(4), (5), (6)のそれぞれについて、ベクトルが一次独立かどうかを判定します。ここでは問題(5)を解きます。ベクトル a = (2, -1, 0), b = (1, 0, 3), c = (-2, 1, 1)が一次独立かどうかを判定します。

2. 解き方の手順

ベクトルが一次独立であるかを調べるには、これらのベクトルの線形結合がゼロベクトルになる場合を考え、その時の係数がすべてゼロであるかどうかを確認します。

まず、$k_1, k_2, k_3$ を実数として、以下の式を立てます。

$k_1 \mathbf{a} + k_2 \mathbf{b} + k_3 \mathbf{c} = \mathbf{0}$

具体的にベクトルを代入すると、

$k_1 (2, -1, 0) + k_2 (1, 0, 3) + k_3 (-2, 1, 1) = (0, 0, 0)$

これを成分ごとに分解すると、以下の連立方程式が得られます。

$2k_1 + k_2 - 2k_3 = 0$ (1)

$-k_1 + k_3 = 0$ (2)

$3k_2 + k_3 = 0$ (3)

(2)より、$k_1 = k_3$。

(3)より、$k_2 = -\frac{1}{3}k_3$。

これらを(1)に代入すると、

$2k_3 - \frac{1}{3}k_3 - 2k_3 = 0$

$-\frac{1}{3}k_3 = 0$

$k_3 = 0$

したがって、$k_1 = k_3 = 0$、$k_2 = -\frac{1}{3}k_3 = 0$となります。

$k_1 = k_2 = k_3 = 0$ なので、ベクトルa, b, cは一次独立です。

3. 最終的な答え

ベクトル a = (2, -1, 0), b = (1, 0, 3), c = (-2, 1, 1)は一次独立である。