次の3つの関数について、第n次導関数を求める問題です。 (a) $y = e^{2x}$ (b) $y = \log x$ (c) $y = x^2 e^x$

1. 問題の内容

次の3つの関数について、第n次導関数を求める問題です。

(a) $y = e^{2x}$

(b) $y = \log x$

(c) $y = x^2 e^x$

2. 解き方の手順

(a) $y = e^{2x}$

まず、いくつかの導関数を計算して、規則性を見つけます。

$y' = 2e^{2x}$

$y'' = 2^2 e^{2x}$

$y''' = 2^3 e^{2x}$

したがって、$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$ と推測できます。

(b) $y = \log x$

同様に、いくつかの導関数を計算します。

$y' = \frac{1}{x} = x^{-1}$

$y'' = -x^{-2}$

$y''' = 2x^{-3}$

$y^{(4)} = -6x^{-4}$

一般に、

$y^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-1)! x^{-n} = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{x^n}$ (for $n \geq 1$).

(c) $y = x^2 e^x$

ライプニッツの公式を使います。ライプニッツの公式は、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

ここで、$u = x^2$、$v = e^x$ とします。

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$.

$v^{(n)} = e^x$ for all $n$.

したがって、

$y^{(n)} = (x^2 e^x)^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 e^x + \binom{n}{1} 2x e^x + \binom{n}{2} 2 e^x$

$= x^2 e^x + 2nx e^x + n(n-1) e^x$

$= e^x (x^2 + 2nx + n(n-1))$

3. 最終的な答え

(a) $y^{(n)} = 2^n e^{2x}$

(b) $y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{x^n}$

(c) $y^{(n)} = e^x (x^2 + 2nx + n(n-1))$