問題は以下の5つの小問から構成されています。 (1) $\sqrt{2} \times (\frac{1}{2\sqrt{18}} - \frac{1}{3\sqrt{50}})$ を簡単にせよ。 (2) データ 35, 26, 33, a, 32 の平均が 30 であるとき、a の値と標準偏差を求めよ。 (3) 濃度が 5% の食塩水 400g に濃度が x% の食塩水 600g を加えて濃度が 3% 以下の食塩水 1000g ができるような x の範囲を求めよ。 (4) 不等式 $|x-1| < 3$ を解け。 (5) 定義域が $-1 \le x < 2$ である 2 次関数 $y = -2x^2 + 4x - 1$ に最大値、最小値があればそれらを求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の5つの小問から構成されています。

(1) $\sqrt{2} \times (\frac{1}{2\sqrt{18}} - \frac{1}{3\sqrt{50}})$ を簡単にせよ。

(2) データ 35, 26, 33, a, 32 の平均が 30 であるとき、a の値と標準偏差を求めよ。

(3) 濃度が 5% の食塩水 400g に濃度が x% の食塩水 600g を加えて濃度が 3% 以下の食塩水 1000g ができるような x の範囲を求めよ。

(4) 不等式 $|x-1| < 3$ を解け。

(5) 定義域が $-1 \le x < 2$ である 2 次関数 $y = -2x^2 + 4x - 1$ に最大値、最小値があればそれらを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sqrt{18}$ と $\sqrt{50}$ を簡単にします。

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

したがって、

$\sqrt{2} \times (\frac{1}{2\sqrt{18}} - \frac{1}{3\sqrt{50}}) = \sqrt{2} \times (\frac{1}{2 \times 3\sqrt{2}} - \frac{1}{3 \times 5\sqrt{2}}) = \sqrt{2} \times (\frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{1}{15\sqrt{2}}) = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

(2)

データの平均が 30 なので、

$\frac{35 + 26 + 33 + a + 32}{5} = 30$

$35 + 26 + 33 + a + 32 = 150$

$126 + a = 150$

$a = 150 - 126 = 24$

標準偏差を求めます。まず分散を計算します。

分散 $s^2 = \frac{1}{5} [(35-30)^2 + (26-30)^2 + (33-30)^2 + (24-30)^2 + (32-30)^2]$

$s^2 = \frac{1}{5} [5^2 + (-4)^2 + 3^2 + (-6)^2 + 2^2] = \frac{1}{5} [25 + 16 + 9 + 36 + 4] = \frac{1}{5} [90] = 18$

標準偏差 $s = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

(3)

5% の食塩水 400g に含まれる食塩の量は $400 \times 0.05 = 20$g。

x% の食塩水 600g に含まれる食塩の量は $600 \times \frac{x}{100} = 6x$g。

合計 1000g の食塩水に含まれる食塩の量は $20 + 6x$g。

濃度が 3% 以下なので、

$\frac{20 + 6x}{1000} \le 0.03$

$20 + 6x \le 30$

$6x \le 10$

$x \le \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

(4)

$|x-1| < 3$

$-3 < x-1 < 3$

$-3 + 1 < x < 3 + 1$

$-2 < x < 4$

(5)

$y = -2x^2 + 4x - 1 = -2(x^2 - 2x) - 1 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1 = -2((x-1)^2 - 1) - 1 = -2(x-1)^2 + 2 - 1 = -2(x-1)^2 + 1$

頂点は $(1, 1)$。上に凸な放物線。

定義域 $-1 \le x < 2$

$x = 1$ は定義域に含まれるので、最大値は $y = 1$ ($x=1$のとき)。

$x = -1$ のとき、$y = -2(-1-1)^2 + 1 = -2(-2)^2 + 1 = -2(4) + 1 = -8 + 1 = -7$

$x = 2$ のとき、$y = -2(2-1)^2 + 1 = -2(1)^2 + 1 = -2 + 1 = -1$

$x=2$は定義域に含まれないため、最小値は存在しない。ただし、xを2に限りなく近づけると-1に限りなく近づく。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10}$

(2) $a = 24$, 標準偏差 $3\sqrt{2}$

(3) $x \le \frac{5}{3}$

(4) $-2 < x < 4$

(5) 最大値 1 ($x = 1$ のとき), 最小値は存在しない