表に自然数が規則的に並んでいる。 (1) 6行6列目の数を求めよ。 (2) 73が何行何列目の数か求めよ。 (3) n行n列目の数をnを用いて表せ。

1. 問題の内容

表に自然数が規則的に並んでいる。

(1) 6行6列目の数を求めよ。

(2) 73が何行何列目の数か求めよ。

(3) n行n列目の数をnを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 表の規則性を見る。各行は5列で区切られている。1行目は1,4,5,16,17と並んでいる。2行目は2,3,6,15,16と並んでいる。各行は数が左右に増加している。各行の数は、前の行の数の続きになっている。

6行目の最初の数は、1から5行目までの数の個数に1を足したものである。1行あたり5個の数があるので、5行では$5 \times 5 = 25$個の数がある。したがって、6行目の最初の数は$25 + 1 = 26$である。6行目は26から始まるので、6行6列目の数は、26から数えて6番目の数である。ただし、6行目は左から右に数が大きくなるわけではない。6行目の数の並び方は偶数行と同じである。偶数行では、1列目から順に数が小さくなり、途中から大きくなる。6行1列目は26, 6行2列目は27, 6行3列目は30, 6行4列目は29, 6行5列目は28となる。6行目の各列の数は6n-4, 6n-3, 6n, 6n-1, 6n-2となる。よって、6行6列目の数は6行1列目から見て6行目なので、$26 + 5 = 31$。

(2) 73が何行何列目にあるか考える。

1行5列の数が17, 2行5列の数が16, 3行5列の数が14, 4行5列の数が13, 5行5列の数が？となっている。n行5列の数は$5n-(n-1)$となることが予想できる。

73が何行目にあるか考える。73は5の倍数に近い数なので、73を5で割ると14あまり3となる。

15行目の最初の数は$5 \times 14 + 1 = 71$である。

15行目は奇数行なので、左から右に数が大きくなる。15行1列目は71, 15行2列目は74, 15行3列目は75, 15行4列目は72, 15行5列目は73となる。したがって、73は15行5列目にある。

(3) n行n列目の数をnで表す。n行目の最初の数は$5(n-1)+1$である。

nが奇数のとき、n行目の数は左から右に大きくなる。したがって、n行n列目の数は$5(n-1)+n = 5n - 5 + n = 6n - 5$である。

nが偶数のとき、n行目の数は左から右に小さくなり、途中から大きくなる。

n行1列目の数は$5(n-1)+1$である。n行n列目の数がnで表す必要がある。

n=2のとき、2行2列目の数は3である。$6n-5 = 7$なので不適。

n行目の数は、n行n列目が最大の値に近くなる。

nが偶数のとき、n行目の5列目の数は、$5(n-1)+1+4-n$となる。

n行n列目の数がn行目の左から何番目か考える。

3. 最終的な答え

(1) 31

(2) 15行5列

(3) nが奇数のとき $6n - 5$