(4) 絶対値の不等式 $|x-1| < 3$ を解く。 (5) 定義域 $-1 \le x < 2$ における2次関数 $y = -2x^2 + 4x - 1$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(4) 絶対値の不等式 $|x-1| < 3$ を解く。

(5) 定義域 $-1 \le x < 2$ における2次関数 $y = -2x^2 + 4x - 1$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(4) 絶対値の不等式 $|x-1| < 3$ を解く。

絶対値の定義より、$|x-1| < 3$ は $-3 < x-1 < 3$ と同値である。

各辺に1を加えると、

$-3 + 1 < x-1 + 1 < 3 + 1$

$-2 < x < 4$

したがって、不等式の解は $-2 < x < 4$ となる。

(5) 2次関数 $y = -2x^2 + 4x - 1$ の最大値と最小値を求める。

まず、平方完成を行う。

$y = -2(x^2 - 2x) - 1$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = -2((x-1)^2 - 1) - 1$

$y = -2(x-1)^2 + 2 - 1$

$y = -2(x-1)^2 + 1$

この関数は $x=1$ で最大値1をとる上に凸な放物線である。

定義域は $-1 \le x < 2$ である。

$x=1$ は定義域に含まれるので、最大値は $x=1$ のとき $y=1$ となる。

最小値を求めるため、定義域の端点の値を調べる。

$x = -1$ のとき、

$y = -2(-1-1)^2 + 1 = -2(-2)^2 + 1 = -2(4) + 1 = -8 + 1 = -7$

$x = 2$ のとき、

$y = -2(2-1)^2 + 1 = -2(1)^2 + 1 = -2 + 1 = -1$

$x < 2$ であるため $x = 2$ は含まれないが、$x$ が2に近づくにつれて $y$ は-1に近づく。したがって、この関数は最小値を持たない。

3. 最終的な答え

(4) $-2 < x < 4$

(5) 最大値: 1 ($x=1$のとき)、最小値: なし