与えられた微分方程式を解いて、$x(t)$ を求める問題です。 微分方程式は $\frac{dx}{dt} = C_1' e^{-\frac{\gamma}{m}t}$ で与えられています。ここで、$C_1'$, $\gamma$, $m$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解いて、$x(t)$ を求める問題です。

微分方程式は $\frac{dx}{dt} = C_1' e^{-\frac{\gamma}{m}t}$ で与えられています。ここで、$C_1'$, $\gamma$, $m$ は定数です。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式を解くには、両辺を時間 $t$ で積分します。

$\int \frac{dx}{dt} dt = \int C_1' e^{-\frac{\gamma}{m}t} dt$

左辺は $x(t)$ になります。右辺は積分を実行する必要があります。

$x(t) = C_1' \int e^{-\frac{\gamma}{m}t} dt$

$u = -\frac{\gamma}{m}t$ と置くと、$du = -\frac{\gamma}{m} dt$ となり、$dt = -\frac{m}{\gamma} du$ です。

したがって、

$x(t) = C_1' \int e^u (-\frac{m}{\gamma}) du$

$x(t) = -\frac{mC_1'}{\gamma} \int e^u du$

$x(t) = -\frac{mC_1'}{\gamma} e^u + C_2$

$x(t) = -\frac{mC_1'}{\gamma} e^{-\frac{\gamma}{m}t} + C_2$

ここで、$C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$x(t) = -\frac{mC_1'}{\gamma} e^{-\frac{\gamma}{m}t} + C_2$