与えられたヴァンデルモンド行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられたヴァンデルモンド行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の逆行列を求めるには、掃き出し法を用いるのが一般的です。

すなわち、行列 $A$ に単位行列 $I$ を並べた拡大行列 $(A|I)$ を作り、基本変形を繰り返して $(I|A^{-1})$ の形に変形します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}$

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

拡大行列 $(A|I)$ は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

まず、2行目と1行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、2,3,4行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & | & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 8 & | & 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目を足し、4行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & | & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 6 & | & -2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を2で割り、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & | & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & -1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 6 & | & -2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & | & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & -1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & | & -3 & 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

4行目を6で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & | & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & -1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -1/2 & 1/2 & -1/6 & 1/6 \end{pmatrix}$

2行目から3行目と4行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & -1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -1/2 & 1/2 & -1/6 & 1/6 \end{pmatrix}$

したがって、

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1/2 & -1 & 1/2 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & -1/6 & 1/6 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1/2 & -1 & 1/2 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & -1/6 & 1/6 \end{pmatrix}$