定積分 $\int_{0}^{a} \sqrt{1-x^2} \, dx$ を求めます。ただし、$0 \le a < 1$ です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{a} \sqrt{1-x^2} \, dx$ を求めます。ただし、$0 \le a < 1$ です。

2. 解き方の手順

$x = \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \cos \theta \, d\theta$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = 0$ のとき、$\sin \theta = 0$ より、$\theta = 0$ です。

$x = a$ のとき、$\sin \theta = a$ より、$\theta = \arcsin a$ です。

したがって、

$\int_{0}^{a} \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_{0}^{\arcsin a} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\arcsin a} \cos^2 \theta \, d\theta$

三角関数の半角の公式より、$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ なので、

$\int_{0}^{\arcsin a} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\arcsin a} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\arcsin a} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$

$= \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\arcsin a} = \frac{1}{2} \left( \arcsin a + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin a) \right) - \frac{1}{2} \left( 0 + \frac{1}{2} \sin 0 \right)$

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ より、$\sin (2 \arcsin a) = 2 \sin (\arcsin a) \cos (\arcsin a) = 2a \sqrt{1 - a^2}$ です。

よって、

$\frac{1}{2} \left( \arcsin a + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin a) \right) = \frac{1}{2} \left( \arcsin a + \frac{1}{2} \cdot 2a \sqrt{1-a^2} \right) = \frac{1}{2} \arcsin a + \frac{1}{2} a \sqrt{1-a^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \arcsin a + \frac{1}{2} a \sqrt{1-a^2}$