与えられた連立不等式 $ \begin{cases} x - 2y \leq 4 \\ 3x + y > 6 \end{cases} $ の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$$

\begin{cases}

x - 2y \leq 4 \\

3x + y > 6

\end{cases}

$$

の解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式について、$y$ を $x$ の関数として表します。

1つ目の不等式 $x - 2y \leq 4$ を変形します。

$-2y \leq -x + 4$

$2y \geq x - 4$

$y \geq \frac{1}{2}x - 2$

2つ目の不等式 $3x + y > 6$ を変形します。

$y > -3x + 6$

したがって、連立不等式は次のようになります。

$$

\begin{cases}

y \geq \frac{1}{2}x - 2 \\

y > -3x + 6

\end{cases}

$$

この連立不等式の解は、2つの不等式を同時に満たす $(x, y)$ の範囲です。グラフで考えると、$y = \frac{1}{2}x - 2$ の直線以上（線上を含む）かつ、$y = -3x + 6$ の直線より上の領域となります。

2直線の交点を求めます。

$\frac{1}{2}x - 2 = -3x + 6$

$x - 4 = -6x + 12$

$7x = 16$

$x = \frac{16}{7}$

$x = \frac{16}{7}$ を $y = -3x + 6$ に代入します。

$y = -3 \cdot \frac{16}{7} + 6 = -\frac{48}{7} + \frac{42}{7} = -\frac{6}{7}$

したがって、2直線の交点は $(\frac{16}{7}, -\frac{6}{7})$ です。

連立不等式の解は、$y \geq \frac{1}{2}x - 2$ かつ $y > -3x + 6$ を満たす領域になります。境界線は$y = \frac{1}{2}x - 2$ と$y = -3x + 6$です。

3. 最終的な答え

連立不等式の解は、

$$

\begin{cases}

y \geq \frac{1}{2}x - 2 \\

y > -3x + 6

\end{cases}

$$

を満たす領域です。

境界線は、$y = \frac{1}{2}x - 2$ と $y = -3x + 6$ であり、交点は $(\frac{16}{7}, -\frac{6}{7})$ です。