定義域 $-1 \le x < 2$ である2次関数 $y = -2x^2 + 4x - 1$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

定義域 $-1 \le x < 2$ である2次関数 $y = -2x^2 + 4x - 1$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 4x - 1 = -2(x^2 - 2x) - 1 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1 = -2((x-1)^2 - 1) - 1 = -2(x-1)^2 + 2 - 1 = -2(x-1)^2 + 1$

よって、この2次関数の頂点は $(1, 1)$ で、上に凸な放物線です。

次に、定義域 $-1 \le x < 2$ における関数の値を考えます。

頂点の $x$ 座標 $x=1$ は定義域に含まれています。

$x = 1$ のとき、$y = -2(1-1)^2 + 1 = 1$

$x = -1$ のとき、$y = -2(-1-1)^2 + 1 = -2(-2)^2 + 1 = -2(4) + 1 = -8 + 1 = -7$

$x = 2$ のとき、$y = -2(2-1)^2 + 1 = -2(1)^2 + 1 = -2 + 1 = -1$

定義域 $-1 \le x < 2$ において、$x=1$ のとき最大値 $1$ をとります。

また、$x=-1$ で最小値 $-7$ をとります。$x=2$は定義域に含まれないので$-1$は最小値ではありません。

定義域の端点である$x=-1$で $y=-7$ となり、これは最小値です。$x=2$は定義域に含まれないので、最小値は$-1$より大きい値になります。

したがって、最大値は $1$ ($x=1$ のとき)で、最小値は $-7$ ($x=-1$ のとき)です。

3. 最終的な答え

最大値: 1

最小値: -7