問題は、与えられた曲線について、グラフの概形を描き、曲線とx軸で囲まれた図形の面積$S$を求めることです。 (a) $y = x^4 - 2x^2 + 1$ (b) $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3$

1. 問題の内容

問題は、与えられた曲線について、グラフの概形を描き、曲線とx軸で囲まれた図形の面積$S$を求めることです。

(a) $y = x^4 - 2x^2 + 1$

(b) $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3$

2. 解き方の手順

(a) $y = x^4 - 2x^2 + 1$ の場合

まず、$y = x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$ であることに注目します。

このことから、x軸との交点は $x = 1$ と $x = -1$ であることがわかります。

また、$y \ge 0$ であることがわかります。

$y'$ を計算します。

$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$

$y' = 0$ となるのは、$x = -1, 0, 1$ のときです。

$x < -1$ のとき、$y' < 0$ であり、$y$ は減少します。

$-1 < x < 0$ のとき、$y' > 0$ であり、$y$ は増加します。

$0 < x < 1$ のとき、$y' < 0$ であり、$y$ は減少します。

$x > 1$ のとき、$y' > 0$ であり、$y$ は増加します。

よって、$x = -1, 1$ で極小値 $y = 0$ をとり、$x = 0$ で極大値 $y = 1$ をとります。

求める面積$S$は、x軸より上にあるので積分範囲は$-1 \le x \le 1$となり、

$S = \int_{-1}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) dx = [\frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1) - (-\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - 1) = \frac{2}{5} - \frac{4}{3} + 2 = \frac{6 - 20 + 30}{15} = \frac{16}{15}$

(b) $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3$ の場合

$y = \frac{1}{4}x^4 - x^3 = \frac{1}{4}x^3(x - 4)$

x軸との交点は、$x = 0, 4$ です。

$y' = x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 0, 3$ のときです。

$x < 0$ のとき、$y' < 0$ であり、$y$ は減少します。

$0 < x < 3$ のとき、$y' < 0$ であり、$y$ は減少します。

$x > 3$ のとき、$y' > 0$ であり、$y$ は増加します。

よって、$x = 3$ で極小値 $y = \frac{1}{4}(3^4) - 3^3 = \frac{81}{4} - 27 = \frac{81 - 108}{4} = -\frac{27}{4}$ をとります。

$x = 0$ では極値を取りません。

求める面積$S$は、$0 \le x \le 4$の範囲で$y \le 0$ なので、

$S = -\int_{0}^{4} (\frac{1}{4}x^4 - x^3) dx = -[\frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{4}x^4]_{0}^{4} = -(\frac{1}{20}4^5 - \frac{1}{4}4^4) = -(\frac{1024}{20} - \frac{256}{4}) = -(\frac{256}{5} - 64) = -\frac{256 - 320}{5} = \frac{64}{5}$

3. 最終的な答え

(a) $S = \frac{16}{15}$

(b) $S = \frac{64}{5}$