円柱のタンクがあり、底面の半径は60cm、高さは1mである。 (1) このタンクから毎秒100ccで排水するとき、排水が完了するまでの時間を求める。ただし、円周率は$\pi$とする。 (2) このタンクから、最初の1時間は毎秒100ccで排水し、1時間後からは毎秒$k$ ccで排水するとき、排水が完了するまでの時間が2時間以上3時間以下になるような$k$の範囲を求める。ただし、円周率は3.14とする。

1. 問題の内容

円柱のタンクがあり、底面の半径は60cm、高さは1mである。

(1) このタンクから毎秒100ccで排水するとき、排水が完了するまでの時間を求める。ただし、円周率は$\pi$とする。

(2) このタンクから、最初の1時間は毎秒100ccで排水し、1時間後からは毎秒$k$ ccで排水するとき、排水が完了するまでの時間が2時間以上3時間以下になるような$k$の範囲を求める。ただし、円周率は3.14とする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、タンクの容積を計算する。半径60cm、高さ1m = 100cmなので、容積$V$は、

$V = \pi r^2 h = \pi \times 60^2 \times 100 = 360000\pi$ 立方センチメートル (cc)

毎秒100ccで排水するので、排水完了までの時間$t$（秒）は、

$t = \frac{360000\pi}{100} = 3600\pi$ 秒

これを時間に変換する。1時間 = 3600秒なので、

$t = \frac{3600\pi}{3600} = \pi$ 時間

(2)

最初の1時間（3600秒）で排水される水の量は、

$100 \text{ cc/秒} \times 3600 \text{ 秒} = 360000 \text{ cc}$

残りの水の量は、$\pi \times 60^2 \times 100 - 360000 = 360000 \pi - 360000$ cc。

円周率は3.14なので、残りの水の量は、$360000 \times 3.14 - 360000 = 360000(3.14 - 1) = 360000 \times 2.14 = 770400 \text{ cc}$。

排水完了までの時間が2時間以上3時間以下なので、1時間経過後、さらに1時間以上2時間以下で排水完了となる。

1時間以上2時間以下は、3600秒以上7200秒以下なので、

$3600 \leq \frac{770400}{k} \leq 7200$

不等式を解く。

$\frac{770400}{7200} \leq k \leq \frac{770400}{3600}$

$107 \leq k \leq 214$

3. 最終的な答え

(1) $\pi$ 時間

(2) $107 \leq k \leq 214$