$\mathbb{R}^3$ の部分空間 $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 + x_3 = 0, 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \}$ に対して、その直交補空間 $W^\perp$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$ の部分空間 $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 + x_3 = 0, 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \}$ に対して、その直交補空間 $W^\perp$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$W$ を定義する連立方程式を解きます。

$x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$

$2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0$

第1式に2を掛けて第2式から引くと、

$(2x_1 + 3x_2 - x_3) - 2(x_1 + 2x_2 + x_3) = 0 - 0$

$-x_2 - 3x_3 = 0$

$x_2 = -3x_3$

第1式に代入すると、

$x_1 + 2(-3x_3) + x_3 = 0$

$x_1 - 6x_3 + x_3 = 0$

$x_1 = 5x_3$

したがって、$W$ のベクトル $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)$ は、

$\mathbf{x} = (5x_3, -3x_3, x_3) = x_3(5, -3, 1)$

よって、$W$ はベクトル $(5, -3, 1)$ によって張られる1次元の部分空間です。

$W = \text{span}\{(5, -3, 1)\}$

次に、$W^\perp$ を求めます。$W^\perp$ は $W$ のすべてのベクトルと直交するベクトル全体からなる空間です。

$\mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3) \in W^\perp$ であるための必要十分条件は、$\mathbf{y}$ が $(5, -3, 1)$ と直交することです。

つまり、

$(5, -3, 1) \cdot (y_1, y_2, y_3) = 0$

$5y_1 - 3y_2 + y_3 = 0$

$y_3 = -5y_1 + 3y_2$

したがって、$W^\perp$ のベクトル $\mathbf{y}$ は、

$\mathbf{y} = (y_1, y_2, -5y_1 + 3y_2) = y_1(1, 0, -5) + y_2(0, 1, 3)$

よって、$W^\perp = \text{span}\{(1, 0, -5), (0, 1, 3)\}$

3. 最終的な答え

$W^\perp = \text{span}\{(1, 0, -5), (0, 1, 3)\}$