与えられた不等式 $-x^2 + 4x + 5 \geq 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $-x^2 + 4x + 5 \geq 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に -1 を掛けて、$x^2$ の係数を正にする。このとき、不等号の向きが変わることに注意する。

$x^2 - 4x - 5 \leq 0$

次に、左辺を因数分解する。

$(x - 5)(x + 1) \leq 0$

次に、$(x - 5)(x + 1) = 0$ となる $x$ の値を求める。これは $x = 5$ と $x = -1$ である。

次に、$x < -1$, $-1 < x < 5$, $x > 5$ の各範囲で $(x - 5)(x + 1)$ の符号を調べる。

- $x < -1$ のとき、$x - 5 < 0$ かつ $x + 1 < 0$ なので、$(x - 5)(x + 1) > 0$

- $-1 < x < 5$ のとき、$x - 5 < 0$ かつ $x + 1 > 0$ なので、$(x - 5)(x + 1) < 0$

- $x > 5$ のとき、$x - 5 > 0$ かつ $x + 1 > 0$ なので、$(x - 5)(x + 1) > 0$

したがって、$(x - 5)(x + 1) \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は $-1 \leq x \leq 5$ である。

3. 最終的な答え

$-1 \leq x \leq 5$