与えられた二次不等式 $2x^2 - x - 3 \leq 0$ を解き、$x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次不等式 $2x^2 - x - 3 \leq 0$ を解き、$x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、二次式を因数分解する。

$2x^2 - x - 3 = 0$ となる $x$ を求めるために、因数分解を試みる。

$2x^2 - x - 3 = (2x - 3)(x + 1)$

したがって、$2x^2 - x - 3 = 0$ の解は、$x = \frac{3}{2}$ と $x = -1$ である。

次に、不等式 $(2x - 3)(x + 1) \leq 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。

$2x-3 = 0$ のとき $x = \frac{3}{2}$ であり、$x+1 = 0$ のとき $x = -1$ である。

これらの値で数直線を区切り、それぞれの区間で不等式が成立するかどうかを調べる。

* $x < -1$ のとき、$2x - 3 < 0$ かつ $x + 1 < 0$ であるから、$(2x - 3)(x + 1) > 0$ となり、不等式は成立しない。

* $-1 < x < \frac{3}{2}$ のとき、$2x - 3 < 0$ かつ $x + 1 > 0$ であるから、$(2x - 3)(x + 1) < 0$ となり、不等式は成立する。

* $x > \frac{3}{2}$ のとき、$2x - 3 > 0$ かつ $x + 1 > 0$ であるから、$(2x - 3)(x + 1) > 0$ となり、不等式は成立しない。

$x = -1$ と $x = \frac{3}{2}$ のときは、$(2x - 3)(x + 1) = 0$ となり、不等式 $2x^2 - x - 3 \leq 0$ を満たす。

したがって、不等式を満たす $x$ の範囲は $-1 \leq x \leq \frac{3}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$-1 \leq x \leq \frac{3}{2}$