次の2つの曲線について、概形を描き、曲線とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めます。 (a) $y = x^4 - 2x^2 + 1$ (b) $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の2つの曲線について、概形を描き、曲線とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めます。

(a) $y = x^4 - 2x^2 + 1$

(b) $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3$

2. 解き方の手順

(a) $y = x^4 - 2x^2 + 1$ の場合

ステップ1: 因数分解

$y = (x^2 - 1)^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2$

ステップ2: x軸との交点

$y = 0$ となる $x$ を求めます。

$(x - 1)^2(x + 1)^2 = 0$ より、 $x = 1, -1$ （重解）

ステップ3: 概形の把握

$x = 1$ と $x = -1$ でx軸に接し、$x$が非常に大きいとき、$y$は正の無限大に発散します。$y$は偶関数なので、$y$軸に関して対称です。

ステップ4: 面積の計算

$x$軸と曲線で囲まれた部分がないため、面積は0です。

$S = 0$

(b) $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3$ の場合

ステップ1: 因数分解

$y = \frac{1}{4}x^3(x - 4)$

ステップ2: x軸との交点

$y = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1}{4}x^3(x - 4) = 0$ より、$x = 0$ （三重解）, $x = 4$

ステップ3: 概形の把握

$x = 0$ でx軸と交わり，$x = 4$ でx軸と交わります。$x$が非常に大きいとき、$y$は正の無限大に発散します。

ステップ4: 面積の計算

$x$軸と曲線で囲まれた部分の面積は、$0$から$4$までの定積分を計算することで求まります。

ただし、$0 \le x \le 4$ の範囲で $y$ が負の値を取るため、積分結果に負号を付けて絶対値を取る必要があります。

$S = \left| \int_0^4 (\frac{1}{4}x^4 - x^3) \, dx \right|$

$S = \left| \left[ \frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^4 \right|$

$S = \left| \frac{1}{20}(4^5) - \frac{1}{4}(4^4) \right|$

$S = \left| \frac{1024}{20} - \frac{256}{4} \right|$

$S = \left| \frac{256}{5} - 64 \right|$

$S = \left| \frac{256 - 320}{5} \right|$

$S = \left| -\frac{64}{5} \right|$

$S = \frac{64}{5}$

3. 最終的な答え

(a) $S = 0$

(b) $S = \frac{64}{5}$