曲線 $y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2}$ の概形を描き、漸近線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2}$ の概形を描き、漸近線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。分子を分母で割ることで、より扱いやすい形にします。

$\frac{x^2 - x - 1}{x - 2} = x + 1 + \frac{1}{x - 2}$

したがって、

$y = x + 1 + \frac{1}{x - 2}$

次に、漸近線を求めます。

* 垂直漸近線: 分母が0になる $x$ の値は $x = 2$ です。したがって、$x = 2$ は垂直漸近線です。

* 斜め漸近線: $x$ が非常に大きいまたは小さい場合、$\frac{1}{x - 2}$ は0に近づきます。したがって、$y = x + 1$ は斜め漸近線です。

$x$ 軸との交点は、$y=0$ となる点なので、

$\frac{x^2 - x - 1}{x - 2} = 0$

$x^2 - x - 1 = 0$

解の公式より、$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$y$ 軸との交点は、$x=0$ のときなので、

$y = \frac{0 - 0 - 1}{0 - 2} = \frac{1}{2}$

極値を求めます。

$y' = 1 - \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2 - 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2} = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$

$y' = 0$ となるのは、$x = 1, 3$ のときです。

$x = 1$ のとき、$y = \frac{1 - 1 - 1}{1 - 2} = 1$

$x = 3$ のとき、$y = \frac{9 - 3 - 1}{3 - 2} = 5$

$x = 2$ の前後で $y$ の符号が変わるので、垂直漸近線があります。

$x$ が大きいとき、$y$ は $x + 1$ に近づくので、斜め漸近線があります。

3. 最終的な答え

漸近線の方程式は、$x = 2$ と $y = x + 1$ です。

(答) 漸近線の方程式: $x=2$, $y=x+1$