関数 $f(t)$ が与えられています。 $ f(t) = \begin{cases} 0 & (0 < t < 3) \\ (t-3)^2 & (t \ge 3) \end{cases} $ この関数のラプラス変換 $F(s)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(t)$ が与えられています。

$$

f(t) =

\begin{cases}

0 & (0 < t < 3) \\

(t-3)^2 & (t \ge 3)

\end{cases}

$$

この関数のラプラス変換 $F(s)$ を求めます。

2. 解き方の手順

ラプラス変換の定義より、

$$

F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt

$$

$f(t)$ の定義を考慮すると、

$$

F(s) = \int_3^\infty e^{-st} (t-3)^2 dt

$$

ここで、 $u = t-3$ と置換すると、$t = u+3$ であり、$dt = du$ となります。また、$t=3$ のとき $u=0$、$t \to \infty$ のとき $u \to \infty$ となります。したがって、

$$

F(s) = \int_0^\infty e^{-s(u+3)} u^2 du = e^{-3s} \int_0^\infty e^{-su} u^2 du

$$

$\int_0^\infty e^{-su} u^2 du$ は $u^2$ のラプラス変換であり、$t^n$ のラプラス変換が $\frac{n!}{s^{n+1}}$ であることを利用すると、$n=2$ のとき、

$$

\int_0^\infty e^{-su} u^2 du = \frac{2!}{s^{2+1}} = \frac{2}{s^3}

$$

したがって、

$$

F(s) = e^{-3s} \frac{2}{s^3} = \frac{2e^{-3s}}{s^3}

$$

3. 最終的な答え

$F(s) = \frac{2e^{-3s}}{s^3}$