(1) 整式 $x^3 + 2x^2 + ax + b$ は $x-1$ で割り切れ、$x+2$ で割ると6余る。定数 $a, b$ の値を求める。 (2) 1 の3乗根をすべて求める。 (3) 次の方程式を解く。 (i) $x^3 - 9x^2 - 25x + 33 = 0$ (ii) $2x^3 + x^2 + x - 1 = 0$ (iii) $x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 3x + 3 = 0$

はい、承知しました。画像に書かれた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 整式 $x^3 + 2x^2 + ax + b$ は $x-1$ で割り切れ、$x+2$ で割ると6余る。定数 $a, b$ の値を求める。

(2) 1 の3乗根をすべて求める。

(3) 次の方程式を解く。

(i) $x^3 - 9x^2 - 25x + 33 = 0$

(ii) $2x^3 + x^2 + x - 1 = 0$

(iii) $x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 3x + 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$P(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$ とおく。

$P(x)$ が $x-1$ で割り切れるので、$P(1) = 0$ より

$1^3 + 2(1)^2 + a(1) + b = 0$

$1 + 2 + a + b = 0$

$a + b = -3$ ...(1)

$P(x)$ を $x+2$ で割ると6余るので、$P(-2) = 6$ より

$(-2)^3 + 2(-2)^2 + a(-2) + b = 6$

$-8 + 8 - 2a + b = 6$

$-2a + b = 6$ ...(2)

(1) - (2) より

$a + b - (-2a + b) = -3 - 6$

$3a = -9$

$a = -3$

(1) に代入して

$-3 + b = -3$

$b = 0$

(2)

$x^3 = 1$ を解く。

$x^3 - 1 = 0$

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

よって、$x = 1$ または $x^2 + x + 1 = 0$

$x^2 + x + 1 = 0$ を解くと

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(3)

(i) $x^3 - 9x^2 - 25x + 33 = 0$

$x = 1$ を代入すると $1 - 9 - 25 + 33 = 0$ より $x = 1$ は解である。

$(x - 1)(x^2 - 8x - 33) = 0$

$(x - 1)(x - 11)(x + 3) = 0$

よって、$x = 1, 11, -3$

(ii) $2x^3 + x^2 + x - 1 = 0$

$x = \frac{1}{2}$ を代入すると $2(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$ は解である。

$(x - \frac{1}{2})(2x^2 + 2x + 2) = 0$

$(2x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

$x = \frac{1}{2}$ または $x^2 + x + 1 = 0$

$x^2 + x + 1 = 0$ を解くと

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

よって、$x = \frac{1}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

(iii) $x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 3x + 3 = 0$

$x = 1$ を代入すると $1 + 3 - 4 - 3 + 3 = 0$ より $x = 1$ は解である。

$x = -1$ を代入すると $1 - 3 - 4 + 3 + 3 = 0$ より $x = -1$ は解である。

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 3x - 3) = 0$

$(x^2 - 1)(x^2 + 3x - 3) = 0$

$x^2 - 1 = 0$ より $x = \pm 1$

$x^2 + 3x - 3 = 0$ を解くと

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 12}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$

よって、$x = 1, -1, \frac{-3 + \sqrt{21}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -3, b = 0$

(2) $1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

(3)

(i) $x = 1, 11, -3$

(ii) $x = \frac{1}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

(iii) $x = 1, -1, \frac{-3 + \sqrt{21}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{21}}{2}$