(1) 不等式 $|x-2| < 3$ を解く。 (2) 方程式 $x^4 - 7x^2 + 1 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $|x-2| < 3$ を解く。

(2) 方程式 $x^4 - 7x^2 + 1 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値の不等式 $|x-2| < 3$ を解く。

絶対値の定義より、$|x-2| < 3$ は $-3 < x-2 < 3$ と同値である。

各辺に $2$ を加えると、$-3 + 2 < x-2 + 2 < 3 + 2$ となる。

したがって、$-1 < x < 5$ となる。

(2) 4次方程式 $x^4 - 7x^2 + 1 = 0$ を解く。

$y = x^2$ と置くと、与えられた方程式は $y^2 - 7y + 1 = 0$ となる。

この $y$ に関する2次方程式を解く。

解の公式より、

$y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$

$x^2 = y$ より、$x = \pm \sqrt{y}$ であるから、

$x = \pm \sqrt{\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}}$ または $x = \pm \sqrt{\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}}$

ここで、$\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{9 + 5 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{(3+\sqrt{5})^2}{4}$

同様に、$\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{9 + 5 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{(3-\sqrt{5})^2}{4}$

したがって、

$x = \pm \sqrt{\frac{(3+\sqrt{5})^2}{4}} = \pm \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ または $x = \pm \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^2}{4}} = \pm \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 < x < 5$

(2) $x = \pm \frac{3+\sqrt{5}}{2}, \pm \frac{3-\sqrt{5}}{2}$