与えられた放物線を平行移動して、頂点が(2, 3)になったときの放物線の方程式を求めます。放物線は以下の3つです。 (1) $y = -2x^2$ (2) $y = x^2 - x - 2$ (3) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x - 1$

1. 問題の内容

与えられた放物線を平行移動して、頂点が(2, 3)になったときの放物線の方程式を求めます。放物線は以下の3つです。

(1) $y = -2x^2$

(2) $y = x^2 - x - 2$

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x - 1$

2. 解き方の手順

放物線の頂点が(2, 3)となるように平行移動させることを考えます。

一般に、放物線 $y = a(x-p)^2 + q$ の頂点は $(p, q)$ です。

したがって、頂点が(2, 3)の放物線は、$y = a(x-2)^2 + 3$ と表されます。

ここで、$a$ は平行移動前の放物線の $x^2$ の係数と同じです。

(1) $y = -2x^2$ の場合、$a = -2$ です。したがって、移動後の放物線の方程式は $y = -2(x-2)^2 + 3$ となります。これを展開すると $y = -2(x^2 - 4x + 4) + 3 = -2x^2 + 8x - 8 + 3 = -2x^2 + 8x - 5$ となります。

(2) $y = x^2 - x - 2$ の場合、まず平方完成して頂点を求めます。

$y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$ です。

$a = 1$ なので、移動後の放物線の方程式は $y = (x-2)^2 + 3$ となります。これを展開すると $y = x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7$ となります。

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x - 1$ の場合、まず平方完成して頂点を求めます。

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 6x) - 1 = \frac{1}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) - 1 = \frac{1}{3}(x+3)^2 - 3 - 1 = \frac{1}{3}(x+3)^2 - 4$

頂点は $(-3, -4)$ です。

$a = \frac{1}{3}$ なので、移動後の放物線の方程式は $y = \frac{1}{3}(x-2)^2 + 3$ となります。これを展開すると $y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4) + 3 = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} + 3 = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{13}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 8x - 5$

(2) $y = x^2 - 4x + 7$

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{13}{3}$