(1) $ (3x-5)^4 $ を積分する。 (3) $ \frac{3x^2}{\sqrt{x^6 + 1}} $ を積分する。 (6) $ \frac{(\log x)^5}{x} $ を積分する。

了解しました。画像の問題から、いくつか選んで解いてみます。今回は、(1)、(3)、(6)を解いてみましょう。

1. 問題の内容

(1) $(3x-5)^4$ を積分する。

(3) $\frac{3x^2}{\sqrt{x^6 + 1}}$ を積分する。

(6) $\frac{(\log x)^5}{x}$ を積分する。

2. 解き方の手順

(1) $(3x-5)^4$ の積分

置換積分を用います。$u = 3x - 5$ とおくと、$du = 3 dx$、したがって $dx = \frac{1}{3} du$ となります。

したがって、

$$\int (3x-5)^4 dx = \int u^4 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^4 du$$

$$= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{1}{15} u^5 + C = \frac{1}{15} (3x - 5)^5 + C$$

(3) $\frac{3x^2}{\sqrt{x^6 + 1}}$ の積分

置換積分を用います。$u = x^3$ とおくと、$du = 3x^2 dx$ となります。

したがって、

$$\int \frac{3x^2}{\sqrt{x^6 + 1}} dx = \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 1}} = \mathrm{arcsinh}(u) + C = \log(u + \sqrt{u^2+1}) + C$$

$$= \log(x^3 + \sqrt{x^6+1}) + C$$

(6) $\frac{(\log x)^5}{x}$ の積分

置換積分を用います。$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

したがって、

$$\int \frac{(\log x)^5}{x} dx = \int u^5 du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(\log x)^6}{6} + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int (3x-5)^4 dx = \frac{1}{15} (3x - 5)^5 + C$

(3) $\int \frac{3x^2}{\sqrt{x^6 + 1}} dx = \log(x^3 + \sqrt{x^6+1}) + C$

(6) $\int \frac{(\log x)^5}{x} dx = \frac{(\log x)^6}{6} + C$