関数 $f(x) = \frac{7x^3 + 12x^2 - 9x + 624}{3^{\log_3 9} - 6(\sin(\pi) - \cos(\pi))}$ が与えられたとき、$f'(-1)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{7x^3 + 12x^2 - 9x + 624}{3^{\log_3 9} - 6(\sin(\pi) - \cos(\pi))}$ が与えられたとき、$f'(-1)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の分母を計算します。

$3^{\log_3 9} = 9$

$\sin(\pi) = 0$

$\cos(\pi) = -1$

したがって、分母は $9 - 6(0 - (-1)) = 9 - 6(1) = 9 - 6 = 3$ となります。

よって、$f(x) = \frac{7x^3 + 12x^2 - 9x + 624}{3} = \frac{7}{3}x^3 + 4x^2 - 3x + 208$ となります。

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{7}{3}x^3 + 4x^2 - 3x + 208) = \frac{7}{3}(3x^2) + 4(2x) - 3 + 0 = 7x^2 + 8x - 3$

最後に、$f'(-1)$ の値を計算します。

$f'(-1) = 7(-1)^2 + 8(-1) - 3 = 7(1) - 8 - 3 = 7 - 8 - 3 = -1 - 3 = -4$

3. 最終的な答え

$f'(-1) = -4$