ラプラス変換を用いて、以下の微分方程式を解きます。 $y'' - y' - 6y = 0$, 初期条件は $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$

1. 問題の内容

ラプラス変換を用いて、以下の微分方程式を解きます。

$y'' - y' - 6y = 0$, 初期条件は $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$

2. 解き方の手順

(1) ラプラス変換を適用します。

$L[y''(t)] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

$L[y'(t)] = sY(s) - y(0)$

$L[y(t)] = Y(s)$

ここで、$Y(s)$ は $y(t)$ のラプラス変換を表します。

(2) 初期条件を代入し、微分方程式をラプラス変換します。

$s^2Y(s) - s(1) - 2 - (sY(s) - 1) - 6Y(s) = 0$

$s^2Y(s) - s - 2 - sY(s) + 1 - 6Y(s) = 0$

$(s^2 - s - 6)Y(s) = s + 1$

$Y(s) = \frac{s + 1}{s^2 - s - 6}$

(3) $Y(s)$ を部分分数分解します。

$s^2 - s - 6 = (s - 3)(s + 2)$ より、

$\frac{s + 1}{(s - 3)(s + 2)} = \frac{A}{s - 3} + \frac{B}{s + 2}$

$s + 1 = A(s + 2) + B(s - 3)$

$s + 1 = (A + B)s + (2A - 3B)$

係数を比較すると、

$A + B = 1$

$2A - 3B = 1$

この連立方程式を解くと、

$5B = 1$ より $B = \frac{1}{5}$

$A = 1 - B = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

よって、$Y(s) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{s - 3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{s + 2}$

(4) 逆ラプラス変換を適用します。

$L^{-1}[\frac{1}{s - a}] = e^{at}$ より、

$y(t) = L^{-1}[Y(s)] = \frac{4}{5}e^{3t} + \frac{1}{5}e^{-2t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = \frac{4}{5}e^{3t} + \frac{1}{5}e^{-2t}$