三角形ABCにおいて、$BC=7$, $CA=3$, $AB=5$であるとき、以下のものを求める。 (1)三角形ABCの面積S (2)三角形ABCの外接円の半径R (3)三角形ABCの内接円の半径r (4)外接円の半径$R = \sqrt{\frac{\Box S}{\Box \sin A \sin B \sin C}}$の$\Box$の中に数字を入れよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=7$, $CA=3$, $AB=5$であるとき、以下のものを求める。

(1)三角形ABCの面積S

(2)三角形ABCの外接円の半径R

(3)三角形ABCの内接円の半径r

(4)外接円の半径$R = \sqrt{\frac{\Box S}{\Box \sin A \sin B \sin C}}$の$\Box$の中に数字を入れよ。

2. 解き方の手順

(1) 面積Sを求める

ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{7+3+5}{2} = \frac{15}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-7)(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

(2) 外接円の半径Rを求める

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$である。

また、$S = \frac{1}{2}bc \sin A$なので、$\sin A = \frac{2S}{bc}$

$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{a}{\frac{2S}{bc}} = \frac{abc}{2S}$

$R = \frac{abc}{4S}$

$R = \frac{7 \cdot 3 \cdot 5}{4 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4}} = \frac{105}{15\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) 内接円の半径rを求める

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$

$S = \frac{1}{2}r(7+3+5) = \frac{1}{2}r(15) = \frac{15}{2}r$

$r = \frac{2S}{15} = \frac{2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4}}{15} = \frac{30\sqrt{3}}{60} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) 外接円の半径$R = \sqrt{\frac{\Box S}{\Box \sin A \sin B \sin C}}$の$\Box$の中に数字を入れよ。

$R = \frac{abc}{4S}$

$S = \frac{abc}{4R}$

$R = \sqrt{\frac{S}{\sin A \sin B \sin C \cdot \frac{S}{R^2} \frac{S}{R^2}}} = \frac{abc}{4S}$

$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$

$\sin A \sin B \sin C = \frac{abc}{8R^3}$

$R = \sqrt{\frac{S}{\frac{abc}{8R^3}}}$は違う。

$R = \frac{abc}{4S}$なので、$R^2 = \frac{a^2b^2c^2}{16S^2}$

$R^2 \sin A \sin B \sin C = \frac{a^2b^2c^2}{16S^2} \frac{2S}{bc}\frac{2S}{ac}\frac{2S}{ab} = \frac{a^2b^2c^2}{16S^2} \frac{8S^3}{a^2b^2c^2} = \frac{S}{2}$

よって、$R = \sqrt{\frac{2S}{\sin A \sin B \sin C}}$

$\Box$の中に入るのは2と1

3. 最終的な答え

(1) $\frac{15\sqrt{3}}{4}$

(2) $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) 上の$\Box$は2, 下の$\Box$は1

外接円の半径 $R = \sqrt{\frac{2 S}{\sin A \sin B \sin C}}$