高さ $y_0 = 10m$ のビルの屋上から、初速度 $v_0 = 20m/s$、角度 $\theta = 60^\circ$ で打ち出された物体の運動について、以下の問いに答えます。 (1) 初速度のx成分 $v_{0x}$ およびy成分 $v_{0y}$ を求める。 (2) $t = 1.0s$ 後の速度のx成分 $v_x$、y成分 $v_y$、位置のx成分 $x$、y成分 $y$ をそれぞれ求める。 (3) 最高点に達するまでの時間 $t_{max}$ を求める。 (4) 最高点の高さ $y_{max}$ を求める。 (5) 落下地点までの距離 $x_{max}$ を求める。

1. 問題の内容

高さ $y_0 = 10m$ のビルの屋上から、初速度 $v_0 = 20m/s$、角度 $\theta = 60^\circ$ で打ち出された物体の運動について、以下の問いに答えます。

(1) 初速度のx成分 $v_{0x}$ およびy成分 $v_{0y}$ を求める。

(2) $t = 1.0s$ 後の速度のx成分 $v_x$、y成分 $v_y$、位置のx成分 $x$、y成分 $y$ をそれぞれ求める。

(3) 最高点に達するまでの時間 $t_{max}$ を求める。

(4) 最高点の高さ $y_{max}$ を求める。

(5) 落下地点までの距離 $x_{max}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 初速度のx成分 $v_{0x}$ とy成分 $v_{0y}$ は、それぞれ以下の式で求められます。

$v_{0x} = v_0 \cos{\theta}$

$v_{0y} = v_0 \sin{\theta}$

$v_0 = 20m/s$、$\theta = 60^\circ$ を代入すると、

$v_{0x} = 20 \cos{60^\circ} = 20 \times \frac{1}{2} = 10 m/s$

$v_{0y} = 20 \sin{60^\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17.3 m/s$

(2) $t=1.0s$ 後の速度のx成分 $v_x$ とy成分 $v_y$ は、それぞれ以下の式で求められます。

$v_x = v_{0x}$ （x方向には加速度がないため）

$v_y = v_{0y} - gt$ （y方向には重力加速度 $g$ がかかるため）

$v_{0x} = 10m/s$, $v_{0y} = 10\sqrt{3} m/s$, $g = 9.8 m/s^2$, $t = 1.0s$ を代入すると、

$v_x = 10 m/s$

$v_y = 10\sqrt{3} - 9.8 \times 1.0 = 17.3 - 9.8 \approx 7.5 m/s$

$t=1.0s$ 後の位置のx成分 $x$ とy成分 $y$ は、それぞれ以下の式で求められます。

$x = v_{0x} t$

$y = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2$

$v_{0x} = 10m/s$, $v_{0y} = 10\sqrt{3} m/s$, $g = 9.8 m/s^2$, $t = 1.0s$, $y_0 = 10m$ を代入すると、

$x = 10 \times 1.0 = 10 m$

$y = 10 + 10\sqrt{3} \times 1.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1.0)^2 = 10 + 17.3 - 4.9 = 22.4 m$

(3) 最高点に達するまでの時間 $t_{max}$ は、$v_y = 0$ となる時間なので、

$v_y = v_{0y} - gt_{max} = 0$

$t_{max} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{10\sqrt{3}}{9.8} \approx \frac{17.3}{9.8} \approx 1.77 s$

(4) 最高点の高さ $y_{max}$ は、

$y_{max} = y_0 + v_{0y}t_{max} - \frac{1}{2}gt_{max}^2 = y_0 + \frac{v_{0y}^2}{2g} = 10 + \frac{(10\sqrt{3})^2}{2 \times 9.8} = 10 + \frac{300}{19.6} \approx 10 + 15.3 \approx 25.3 m$

(5) 落下地点までの時間 $t_{fall}$ は、$y = 0$ となる時間なので、

$y = y_0 + v_{0y}t_{fall} - \frac{1}{2}gt_{fall}^2 = 0$

$\frac{1}{2}gt_{fall}^2 - v_{0y}t_{fall} - y_0 = 0$

$4.9t_{fall}^2 - 17.3t_{fall} - 10 = 0$

$t_{fall} = \frac{17.3 \pm \sqrt{(17.3)^2 - 4 \times 4.9 \times (-10)}}{2 \times 4.9} = \frac{17.3 \pm \sqrt{299.29 + 196}}{9.8} = \frac{17.3 \pm \sqrt{495.29}}{9.8} \approx \frac{17.3 \pm 22.26}{9.8}$

$t_{fall} > 0$ なので、$t_{fall} \approx \frac{17.3 + 22.26}{9.8} \approx \frac{39.56}{9.8} \approx 4.04 s$

落下地点までの距離 $x_{max}$ は、

$x_{max} = v_{0x}t_{fall} = 10 \times 4.04 = 40.4 m$

3. 最終的な答え

(1) $v_{0x} = 10 m/s$, $v_{0y} \approx 17.3 m/s$

(2) $v_x = 10 m/s$, $v_y \approx 7.5 m/s$, $x = 10 m$, $y \approx 22.4 m$

(3) $t_{max} \approx 1.77 s$

(4) $y_{max} \approx 25.3 m$

(5) $x_{max} \approx 40.4 m$