## 問題59

## 問題59

1の3乗根のうち、虚数であるものを $\omega$ とする。このとき、以下の値を求めよ。

ア. $\omega^2 + \omega$

イ. $\omega^{10} + \omega^5$

ウ. $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$

エ. $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$

## 解き方の手順

$\omega$ は $x^3 = 1$ の虚数解の一つなので、$\omega^3 = 1$ および $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成立します。これらを利用して各値を計算します。

ア. $\omega^2 + \omega$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega^2 + \omega = -1$

イ. $\omega^{10} + \omega^5$

$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = 1^3 \cdot \omega = \omega$

$\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = 1 \cdot \omega^2 = \omega^2$

したがって、$\omega^{10} + \omega^5 = \omega + \omega^2 = -1$

ウ. $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$

$\frac{1}{\omega^{10}} = \frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2$

$\frac{1}{\omega^5} = \frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega}{\omega^3} = \omega$

したがって、$\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$

エ. $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$

$(\omega^2 + 5\omega)^2 = (\omega^2 + \omega + 4\omega)^2 = (-1 + 4\omega)^2 = 1 - 8\omega + 16\omega^2$

$(5\omega^2 + \omega)^2 = (5\omega^2 + 5\omega - 4\omega)^2 = (-5 - 4\omega)^2 = 25 + 40\omega + 16\omega^2$

$(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2 = 1 - 8\omega + 16\omega^2 + 25 + 40\omega + 16\omega^2 = 26 + 32\omega + 32\omega^2 = 26 + 32(\omega + \omega^2) = 26 + 32(-1) = 26 - 32 = -6$

## 最終的な答え

ア. -1

イ. -1

ウ. 0

エ. -6