## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) 整式 $P(x)$ を $2x^2+9x-5$ で割ると余りが $3x+5$ であり、$x-2$ で割ると余りが $-3$ であるとき、$P(x)$ を $x^2+3x-10$ で割った余りを求める。

(2) 整式 $x^{2011}$ を $x^2+1$ で割った余りを求める。

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2. 解き方の手順

### (1)

$P(x)$ を $2x^2+9x-5$ で割ったときの余りが $3x+5$ なので、ある整式 $Q_1(x)$ を用いて

$$P(x) = (2x^2+9x-5)Q_1(x) + 3x+5$$

と表せる。

ここで、$2x^2+9x-5 = (2x-1)(x+5)$ である。

また、$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが $-3$ なので、$P(2) = -3$ である。

$x^2+3x-10 = (x-2)(x+5)$ であるから、$P(x)$ を $x^2+3x-10$ で割った余りは $ax+b$ （$a, b$ は定数）とおける。よって、ある整式 $Q_2(x)$ を用いて

$$P(x) = (x^2+3x-10)Q_2(x) + ax+b = (x-2)(x+5)Q_2(x) + ax+b$$

と表せる。

$P(2) = -3$ を代入すると、

$P(2) = 2a+b = -3$

一方、$P(x) = (2x-1)(x+5)Q_1(x) + 3x+5$ に $x=-5$ を代入すると、

$P(-5) = 3(-5) + 5 = -15+5 = -10$

また、$P(x) = (x-2)(x+5)Q_2(x) + ax+b$ に $x=-5$ を代入すると、

$P(-5) = -5a+b = -10$

したがって、

$2a+b = -3$

$-5a+b = -10$

この連立方程式を解くと、

$-7a = -7$

$a=1$

$b = -3 - 2a = -3 - 2(1) = -5$

よって、$ax+b = x-5$ となる。

### (2)

$x^{2011}$ を $x^2+1$ で割った余りを $ax+b$ ($a, b$ は実数) とおくと、ある整式 $Q(x)$ を用いて

$$x^{2011} = (x^2+1)Q(x) + ax+b$$

と表せる。

$x^2+1 = 0$ より、$x^2 = -1$。

$x=i$ ($i$ は虚数単位) とすると、$i^2 = -1$ なので、

$$i^{2011} = (i^2+1)Q(i) + ai+b = ai+b$$

$i^{2011} = (i^4)^{502} \cdot i^3 = 1^{502} \cdot i^3 = i^3 = -i$

したがって、$-i = ai+b$。

$a, b$ は実数であるから、

$a = -1, b = 0$

よって、求める余りは $-x$ となる。

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3. 最終的な答え

(1) $x-5$

(2) $-x$