曲線 $y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2}$ の概形を描き、漸近線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2}$ の概形を描き、漸近線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 関数の定義域を確認します。分母が0にならない条件から、$x \neq 2$ です。

(2) 漸近線を求めます。

* 垂直漸近線：$x = 2$ (分母が0になるため)

* 斜め漸近線：分子の次数が分母の次数より1だけ大きいので、割り算を実行します。

$$

\begin{array}{r}

x+1 \\

x-2 \overline{) x^2 - x - 1} \\

\underline{x^2 - 2x} \\

x - 1 \\

\underline{x - 2} \\

1

\end{array}

$$

したがって、$y = x + 1 + \frac{1}{x-2}$ となります。

$x \to \pm\infty$ のとき、$\frac{1}{x-2} \to 0$ なので、$y = x + 1$ が斜め漸近線です。

(3) 微分を計算して増減を調べます。

$y' = 1 - \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2 - 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 4 - 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2} = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$

$y' = 0$ となるのは $x = 1, 3$ のときです。

(4) $y''$ を計算して凹凸を調べます。

$y' = 1 - (x-2)^{-2}$ より

$y'' = 2(x-2)^{-3} = \frac{2}{(x-2)^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ は存在しません。

$x > 2$ で $y'' > 0$, $x < 2$ で $y'' < 0$

(5) 増減表を書きます。

| x | ... | 1 | ... | 2 | ... | 3 | ... |

| ----- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y'' | - | - | - | x | + | + | + |

| y | ↗ | 1 | ↘ | x | ↗ | 5 | ↗ |

$x = 1$ のとき $y = \frac{1-1-1}{1-2} = \frac{-1}{-1} = 1$

$x = 3$ のとき $y = \frac{9-3-1}{3-2} = \frac{5}{1} = 5$

(6) グラフを描きます（省略）。

3. 最終的な答え

垂直漸近線：$x = 2$

斜め漸近線：$y = x + 1$